题目

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，沿对角线BD将△BCD折起，此时C点的新位置C′满足AC′=2.(1)求证：平面ABC′⊥平面ABD；(2)求二面角C′BDA的大小. 答案：(1)证明：在△ABC′中，由AC′=,AB=3,C′B=1,得AC′2+BC′2=AB2.∴∠BC′A=90°.∴C′B⊥AC′.∵BC′⊥DC′,∴BC′⊥面ADC′.∵AD面ADC′,AD⊥BC′,AD⊥AB,∴AD⊥面ABC′.∵AD面ABD，∴面ABC′⊥面ABD.(2)解析：∵平面ABC′⊥平面ABD，过C′作C′P⊥AB，∴C′P⊥面ABD.再过P作PQ⊥BD交BD于Q，连结CQ，则由三垂线定理可得C′Q⊥BD.故∠C′QP即为二面角C′-BD-A的平面角.利用已知可求得C′P=,PQ=,tan∠C′QP=.故二面角C′-BD-A的大小为arctan.

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