题目

如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD. 答案：证明：设=a,=b,=c,则a·b=0，b·c=0，a·c=0.而+()=c+(a+b),=b-a,=()+=(a+b)-c.所以·=(c+a+b)·(b-a)=c·（b-a）+(a+b)·(b-a)=c·b-c·a+(b2-a2)=(|b|2-|a|2)=0.所以⊥.所以A1O⊥BD.同理可证⊥,所以A1O⊥OG.又因为OG∩BD=O,且A1O面GBD,所以A1O⊥面GBD.

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