题目

（12分）如图，三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，，D为PA的中点，二面角P—AC—B为120°，PC = 2，AB=2. （Ⅰ）求证：AC⊥BD； （Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值.                                 答案：（12分）证明：解:（Ⅰ）取AC中点E，连结DE、BE， 则DE∥PC，PC⊥AC, ∴DE⊥AC……………………………………………………………3分  又△ABC是正三角形，∴BE⊥AC,∴AC⊥平面DEB. 又BD平面BED,∴AC⊥BD……………………………………….7分  （Ⅱ）由（Ⅰ）中知DE⊥AC，BE⊥AC, ∴∠DEB是二面角P—AC—B的平面角. ∴∠DEB=120°.又AB=2,其中线BE=AB=3，DE=PC=1. ∵AC⊥平面BDE， 又AC平面ABC, ∴平面ABC⊥平面BDE……………………………………………..9分 且交线为BE，过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上. 又∠DEB=120°， ∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角…10分  又△DEB中，DB2=DE2+BE2－2BE·DEcos120°=13, ∴BD=.由正弦定理：, ∴sinDBE=,即BD与底面ABC所成的角的正弦值为…………12分

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