最小二乘法 知识点题库

已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，试验测得(x，y)的四组值分别为(1，2)，(2，4)，(3，5)，(4，7)，则y与x之间的回归直线方程为(　　)

在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为 ，且成绩分布在 ，分数在 以上（含 ）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，

下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

注：年份代码1~7分别对应年份2010~2016

参考数据： ， ， ， .

参考公式：

相关系数  

回归方程  中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

   

由一组样本数据 得到的回归直线方程为 ，那么下面说法不正确是（   ）

某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y（单位：万只）与相应年份x（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系.

年份序号x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
年养殖山羊y/万只	1.2	1.5	1.6	1.6	1.8	2.5		2.6	2.7

从某居民区随机抽取10个家庭，获得第 个家庭的月收入 （单位：千元）与月储蓄 ，（单位：千元）的数据资料，算出 ，附：线性回归方程 ，其中 为样本平均值.

个人所得税是国家对本国公民、居住在本国境内的个人的所得和境外个人来源于本国的所得征收的一种所得税.我国在1980年9月10日，第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了《中华人民共和国个人所得税法》.公民依法诚信纳税是义务，更是责任现将自2013年至2017年的个人所得税收入统计如下

并制作了时间代号x与个人所得税收入的如如图所示的散点图：

根据散点图判断，可用①y=me^nx与② 作为年个人所得税收入y关于时间代号x的回归方程，经过数据运算和处理，得到如下数据：

以下计算过程中四舍五入保留两位小数.

根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.

将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为 ； 表示全国GDP总量，表中 ， .

3	26.474	1.903	10	209.76	14.05

参考数据：

	4	5	6	7	8
的近似值	55	148	403	1097	2981

设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i ， y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（   ）

一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间 （分钟）和答对人数 的统计表格如下：

时间 （分钟）	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
答对人数	98	70	52	36	30	20	15	11	5	5
	1.99	1.85	1.72	1.56	1.48	1.30	1.18	1.04	0.7	0.7

时间 与答对人数 的散点图如图：

附： ， ， ， ， ，对于一组数据 ， ，……， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， .请根据表格数据回答下列问题：

某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式： ， .

某市预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示

年份200x（年）	0	1	2	3	4
人口数y（十）万	5	7	8	11	19

(参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 )

为了了解某校高中生的身体质量情况，某调查机构进行了一次高一学生体重和身高的抽样调查，从中抽取了8名学生（编号为 ）的身高 和体重 数据.如下表，某调查机构分析发现学生的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析并计算出该组数据的线性回归方程为 ，且根据回归方程预估一名身高为 的学生体重为 ，计算得到的其他数据如下： .

学生的编号	1	2	3	4	5	6	7	8
身高	164	176	165	163	170	172	168	182
体重	60	72	77	54			72	55

附：回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： ， .

已知 ， 的几组对应数据如表：

	0	1	2	3	4
	2	3	6	9	10

根据上表利用最小二乘法求得回归直线方程 中的 ，那么 .

在某种产品表面进行腐蚀性实验，得到腐蚀深度 与腐蚀时向 之间对应的一组数据：

时间	5	10	15	20	35	40	50
深度	6	10	I0	13	16	17	19

（可能用到的公式与数据： ，其中 ）

一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术 的进步就是源于数学算法的优化.华为公司所研发的Single 算法在部署 基站时可以把原来的 、 基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大 基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村．

附：设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，对于样本 ， 的线性回归方程 有 ， ．

中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响.随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据如下表所示：

年份	2017	2018	2019	2020
x	2	3	4	5
y	26	39	49	54

随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：

年份	2016	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码x	1	2	3	4	5	6
新能源乘用车年销售y（万辆）	50	78	126	121	137	352

参考数据：设u＝lny，其中u_i＝lny_i ．

				e3.63	e5.94	e6.27
144	4.78	841	5.70	37.71	380	528

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（x_i ， y_i）（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，n），其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ．

对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表

x	1	4	5	6	9
y	15	40	60	70	80

根据上表，利用最小二乘法得到回归直线方程为 ， 据此模型来预测当时，y的估计值为（       ）