最小二乘法知识点题库

某商品的销售量y（件）与销售价格x（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据 $\text{[math]}$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\text{[math]}$ 则下列结论正确的是（）

A . y与x具有正的线性相关关系 B . 若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则 $\text{[math]}$ C . 当销售价格为10元时，销售量为100件 D . 当销售价格为10元时，销售量为100件左右

假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：

使用年限x	2	3	4	5	6
维修费用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

如果由资料知y对x呈线性相关关系．试求：

（1） $\text{[math]}$ ；
（2）线性回归方程 $\text{[math]}$ =bx+a．
（3）估计使用10年时，维修费用是多少？

PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：

时间	周一	周二	周三	周四	周五
车流量x（万辆）	50	51	54	57	58
PM2.5的浓度 $\text{[math]}$ （微克/立方米）	60	70	74	78	79

（Ⅰ）根据上表数据，请在所给的坐标系中画出散点图；

（Ⅱ）根据上表数据，用最小二乘法求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）若周六同一时间段的车流量是 $\text{[math]}$ 万辆，试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测此时 $\text{[math]}$ 的浓度为多少（保留整数）？

参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是： $\text{[math]}$ ，

其中 $\text{[math]}$ ．

有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：

气温 $\text{[math]}$	0	4	12	19	27
热奶茶销售杯数 $\text{[math]}$	150	132	130	104	94

（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 精确到0.1），若某天的气温为 $\text{[math]}$ ，预测这天热奶茶的销售杯数；

（Ⅱ）从表中的5天中任取两天，求所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130的概率．

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：

x	1.08	1.12	1.19	1.28	1.36	1.48	1.59	1.68	1.80	1.87
y	2.25	2.37	2.40	2.55	2.64	2.75	2.92	3.03	3.14	3.26

（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2） ①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；
②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）

附注：①参考数据： $\text{[math]}$ =14.45， $\text{[math]}$ =27.31， $\text{[math]}$ =0.850， $\text{[math]}$ =1.042， $\text{[math]}$ =1.222．

②参考公式：相关系数：r= $\text{[math]}$ ．回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品 $\text{[math]}$ 的研发费用 $\text{[math]}$ （百万元）和销量 $\text{[math]}$ （万盒）的统计数据如下：

研发费用 $\text{[math]}$ （百万元）	2	3	6	10	13	15	18	21
销量 $\text{[math]}$ （万盒）	1	1	2	2.5	3.5	3.5	4.5	6

附：（1） $\text{[math]}$ （2） $\text{[math]}$ .

（1）根据数据用最小二乘法求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ （系数用分数表示，不能用小数）；
（2）该药企准备生产药品 $\text{[math]}$ 的三类不同的剂型 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测.第一次检测时，三类剂型 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 合格的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，第二次检测时，三类剂型 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 合格的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .两次检测过程相互独立，设经过两次检测后 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三类剂型合格的种类数为X，求X的分布列与数学期望.

下表是某学生在4月份开始进入冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩(分)；

图片_x0020_857697605

（1）请画出上表数据的散点图；
（2） ①请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
②若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生4月份后复习提高率.(复习提高率= $\text{[math]}$ ，分数取整数)

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y万元有如下的统计资料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

附注：①参考公式：回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ；

②参考数据： $\text{[math]}$

（1）画出散点图并判断是否线性相关；
（2）如果线性相关，求线性回归方程；
（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数 $\text{[math]}$ （个）和温度 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的7组观测数据，其散点图如所示：

图片_x0020_100011

根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数 $\text{[math]}$ 和温度 $\text{[math]}$ 可用方程 $\text{[math]}$ 来拟合，令 $\text{[math]}$ ，结合样本数据可知 $\text{[math]}$ 与温度 $\text{[math]}$ 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
27	74	3.573	182	11.9	46.418

表中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 和温度 $\text{[math]}$ 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；
（2）求产卵数 $\text{[math]}$ 关于温度 $\text{[math]}$ 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在 $\text{[math]}$ 之间（包括 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．）
附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ．

下表是某学生在4月份开始进入冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩(分)；

图片_x0020_100009

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）请画出上表数据的散点图；
（2） ①请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程；
②若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生4月份后复习提高率.(复习提高率= $\text{[math]}$ ，分数取整数)

对具有线性相关关系的变量 $\text{[math]}$ ，测得一组数据如下表：

x	2	4	5	6	8
y	20	40	60	70	80

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归方程为 $\text{[math]}$ ，据此模型来预测当 $\text{[math]}$ 时，y的估计值为（）

A . 210 B . 210.5 C . 211 D . 211.5

国家统计局浙江调查总队2019年3月4日公布了《历年城乡居民家庭人均收入情况》（1978——2018），其中2010年至2018年该地区城镇居民家庭人均可支配收入y（单位：万元）如下表所示

年份	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
人均可支配收入y	2.7	3.1	3.5	3.7	4.1	4.4	4.7	5.1	5.6

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2010年至2018年该地区城镇居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年城镇居民家庭人均纯收入．

随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力.相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均 $\text{[math]}$ 与人均垃圾清运量的统计数据如下表：

人均 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （万元/人）	3	6	9	12	15
人均垃圾清运量 $\text{[math]}$ （吨/人）	0.13	0.23	0.31	0.41	0.52

图片_x0020_100009

参考公式]回归方程 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）已知变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；
（2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200千瓦时，如图是光明社区年内家庭人均 $\text{[math]}$ 的频率分布直方图，请补全 $\text{[math]}$ 的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网电量.

某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：

年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份代码（ $\text{[math]}$ ）	1	2	3	4	5
新建社区养老机构（ $\text{[math]}$ ）	12	15	20	25	28

（1）根据上表数据可知， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在线性相关关系，用最小二乘法求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的经验回归方程 $\text{[math]}$ ；
（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中年龄 $\text{[math]}$ 的有 $\text{[math]}$ 人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？
参考公式：线性回归方程 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

某科技公司记录了一种新型材料生产过程中的产量 $\text{[math]}$ (吨)与所需消耗的某种原材料 $\text{[math]}$ (吨)的几组对照数据如表.

$\text{[math]}$	1	2	3	4	5
$\text{[math]}$	1.1	1.6	2	2.5	2.8

（1）请根据表中的数据，用最小二乘法求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程；
（2）若该公司打算生产 $\text{[math]}$ 吨该材料，估计该公司需要准备多少吨这种原材料.
参考公式：回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

下列说法中，正确的为（）

A . 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为 $\text{[math]}$ ，则应从高三年级中抽取15名学生 B . 10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为 $\text{[math]}$ C . 若随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 设某校男生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $\text{[math]}$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\text{[math]}$ ，若该校某男生的身高为170cm，则可断定其体重为62.5kg

$\text{[math]}$ 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当 $\text{[math]}$ 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当 $\text{[math]}$ 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于 $\text{[math]}$ 我们说身高较高，身高小于170cm我们说身高较矮.

【参考公式】

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

【参考数据】

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.01	0.005
$\text{[math]}$	2.706	3.811	6.635	7.879

（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与 $\text{[math]}$ 指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有 $\text{[math]}$ 的把握认为男生的身高对 $\text{[math]}$ 指数有影响.

身高较矮
身高较高
合计
体重较轻
体重较重
合计
（2） ①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高 $\text{[math]}$
166
167
160
173
178
169
158
173
体重 $\text{[math]}$
57
58
53
61
66
57
50
66
根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为 $\text{[math]}$ .利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字） $\text{[math]}$ ；
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
体重 $\text{[math]}$
57
58
53
61
66
57
50
66
残差 $\text{[math]}$
0.1
0.3
0.9
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为 $\text{[math]}$ .请重新根据最最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.

新冠疫情期间，口罩的消耗量日益增加，某药店出于口罩进货量的考虑，连续9天统计了第 $\text{[math]}$ 天的口罩的销售量 $\text{[math]}$ （百件），得到的数据如下： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

参考公式：相关系数 $\text{[math]}$ ；对于一组具有线性相关关系的数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$

（1）若用线性回归模型 $\text{[math]}$ 拟合y与x之间的关系，求该回归直线的方程；
（2）统计学家甲认为用（1）中的线性回归模型（下面简称模型1）进行拟合，不够精确，于是尝试使用非线性模型（下面简称模型2）得到 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系，且模型2的相关系数 $\text{[math]}$ ，试通过计算说明模型1，2中，哪一个模型的拟合效果更好．

为了解某地区经济发展情况，现对2012年~2021年该地区生产总值y（单位：百亿元）进行了统计，制成如下散点图，其中年份代码x的值1~10分别对应2012年至2021年．

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

参考公式：对于一组数据 $\text{[math]}$ ，回归方程 $\text{[math]}$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\text{[math]}$ ．

（1）建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
（2）若2021年该地区生产总值为2150亿元，在此基础上根据（1）中的模型预测，2022年该地区生产总值能否实现5%的增长目标？

某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得一些数据如下表所示：

第x天	1	4	9	16	25	36	49
高度y/cm	0	4	7	9	11	12	13

作出这组数的散点图如下

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

参考数据：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
140	28	56	283

（1）请根据散点图判断， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第196天这株幼苗的高度（结果保留整数）．

	身高较矮	身高较高	合计
体重较轻
体重较重
合计

编号	1	2	3	4	5	6	7	8
身高 $\text{[math]}$	166	167	160	173	178	169	158	173
体重 $\text{[math]}$	57	58	53	61	66	57	50	66

编号	1	2	3	4	5	6	7	8
体重 $\text{[math]}$	57	58	53	61	66	57	50	66
残差 $\text{[math]}$	0.1	0.3	0.9	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

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