锐角三角函数知识点题库

如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：

①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= $\text{[math]}$ .其中正确的结论有（）

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A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

将一副直角三角尺如图放置，A，E，C在一条直线上，边AB与DE交于点F，已知∠B=60°，∠D=45°，AD=AC= $\text{[math]}$ ，求DF的长.

如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG.

（1）求证：CD⊥CG；
（2）若tan∠MEN＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 $\text{[math]}$ ？请说明理由.

如图，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部D处的俯角α为30°，又从A处测得乙楼底部C处的俯角β为60°，已知两楼之间的距离BC为18米，则乙楼CD的高度为米。（结果保留根号）

如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为 $\text{[math]}$ 海里.

（1）求B点到直线CA的距离；
（2）执法船从A到D航行了多少海里？

如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． $\text{[math]}$ ，斜坡 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ ，斜坡 $\text{[math]}$ 的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿 $\text{[math]}$ 至少向右移 $\text{[math]}$ 时，才能确保山体不滑坡．（取 $\text{[math]}$ ）

从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . 21米 D . 42米

计算： $\text{[math]}$

如图，小明为了测量照母山上“览星塔” $\text{[math]}$ 的高度，先从与塔底中心 $\text{[math]}$ 在同一水平面上的点 $\text{[math]}$ 出发，沿着坡度为 $\text{[math]}$ 的斜坡 $\text{[math]}$ 行走10米至坡顶 $\text{[math]}$ 处，再从 $\text{[math]}$ 处沿水平方向继续前行若干米后至点 $\text{[math]}$ 处，在 $\text{[math]}$ 点测得塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，塔底 $\text{[math]}$ 的俯角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的水平距离为4米（图中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一平面内， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔” $\text{[math]}$ 的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（）

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A . 17.8米 B . 23.7米 C . 31.5米 D . 37.4米

中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为 $\text{[math]}$ 米，某天该深潜器在海面下 $\text{[math]}$ 米处作业（如图），测得正前方海底沉船 $\text{[math]}$ 的俯角为 $\text{[math]}$ ，该深潜器在同一深度向正前方直线航行 $\text{[math]}$ 米到 $\text{[math]}$ 点，此时测得海底沉船 $\text{[math]}$ 的俯角为 $\text{[math]}$ ．沉船 $\text{[math]}$ 是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由

$\text{[math]}$

如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，坡顶有一旗杆BC，顶端B点与A点有一条彩带相连，已知CD＝3米，AB＝10米，则旗杆BC的高度为米．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 关于x轴对称， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将四边形 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转90°后得到四边形 $\text{[math]}$ ，依此方式，绕点 O连续旋转2021次得到四边形 $\text{[math]}$ ，那么点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

（1）计算： $\text{[math]}$ .
（2）求二次函数 $\text{[math]}$ 图象的顶点坐标.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 绕点B顺时针方向旋转45°得到 $\text{[math]}$ ，点A经过的路径为弧 $\text{[math]}$ ，点C经过的路径为弧 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为.（结果保留 $\text{[math]}$ ）

（1）计算： $\text{[math]}$ -6sin60°+ （1-π）⁰ ．
（2）化简： $\text{[math]}$

如图，在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O为对角线AC，BD的交点，点P是线段OC上一点，以DP为直径的圆分别交线段CD，AC于点E，F，延长DP交线段BC于点G，连结DF，EF，EP.

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ .
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
（3）连结OE，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求CP的长.

下列计算结果，正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE $\text{[math]}$ AB，交AC于点E，EF $\text{[math]}$ BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为．

综合与实践

问题背景：

在综合与实践课上，老师让同学们探索有一组邻边相等，一组对角互补的四边形的性质．如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）实践操作：
同学们首先从特殊情形开始探索，如图2，当 $\text{[math]}$ 时，其它条件不变，发现了 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 的性质，有两个小组给出如下的证明思路：
“团结组”：利用“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”；
“实践组”：由 $\text{[math]}$ 想到将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，将四边形 $\text{[math]}$ 转化成我们学过的特殊图形．
①请你分别在图2，图3中画出符合“团结组”和“实践组”思路的辅助线；
②求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；（从上面的两个思路中选一个或按照自己的思路）
（2） “创新组”的同学发现在图2中 $\text{[math]}$ ，请你说明理由；
（3）拓展延伸：
“善思组”的同学受“创新组”同学的启发，提出如下问题：如图4，当 $\text{[math]}$ 时，其它条件不变，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的形状为，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．

如图，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
（2）求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的直径．

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