圆-动点问题知识点题库

已知：如图，⊙O的半径为r ，在射线OM上任取一点P（不与点O重合），如果射线OM上的点P' ，满足OP·OP'=r² ，则称点P'为点P关于⊙O的反演点．

在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2．

（1）已知点A (4，0)，求点A关于⊙O的反演点A'的坐标；
（2）若点B关于⊙O的反演点B'恰好为直线 $\text{[math]}$ 与直线x=4的交点，求点B的坐标；
（3）若点C为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，且点C关于⊙O的反演点C'在⊙O的内部，求点C的横坐标m的范围；
（4）若点D为直线x=4上一动点，直接写出点D关于⊙O的反演点D'的横坐标t的范围．

如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l经过点A，作CE⊥l于点E，连接BE.则当直线 $\text{[math]}$ 绕着点A转动时，线段BE长度的最大值是．

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如图，半径为 $\text{[math]}$ ，圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形 $\text{[math]}$ 的弧 $\text{[math]}$ 上有一运动的点P，从点P向半径 $\text{[math]}$ 引垂线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，设 $\text{[math]}$ 的内角平分线交于点I，但点P在弧 $\text{[math]}$ 上从点A运动到点B时，则点I所经过的路径长为

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如图，在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心的圆与 $\text{[math]}$ 轴相切．点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最大值为（）．

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A . 14 B . 15 C . 16 D . 8

点 $\text{[math]}$ 为平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中一点，点 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 上一点．我们将线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值与最小值之间的差定义为点 $\text{[math]}$ 视角下图形 $\text{[math]}$ 的“宽度”．

（1）如图，⊙ $\text{[math]}$ 半径为2，与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．
①在点 $\text{[math]}$ 视角下，⊙ $\text{[math]}$ 的“宽度”为，线段 $\text{[math]}$ 的“宽度”为；

②点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点．若在点 $\text{[math]}$ 视角下，线段 $\text{[math]}$ 的“宽度”为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围：；
（2） ⊙ $\text{[math]}$ 的圆心在x轴上，半径为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若线段 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得在点 $\text{[math]}$ 视角下，⊙ $\text{[math]}$ 的“宽度”可以为 $\text{[math]}$ ，求圆心 $\text{[math]}$ 的横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围．

如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为8，M是 $\text{[math]}$ 的中点，一动点P从点 $\text{[math]}$ 运动，连接 $\text{[math]}$ ，以点P为圆心， $\text{[math]}$ 的长为半径作 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 的边相切时， $\text{[math]}$ 的长为．

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如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，A是射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．动点P从点A出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 竖直向上作匀速运动．连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点B．经过O，P，Q三点作圆，交 $\text{[math]}$ 于点C，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设运动时间为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

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（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得线段 $\text{[math]}$ 的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在点P，Q运动过程中（ $\text{[math]}$ ），四边形 $\text{[math]}$ 的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形 $\text{[math]}$ 面积变化的趋势；如果四边形 $\text{[math]}$ 面积不变化，请求出它的面积．

（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．

求证： $\text{[math]}$ ．

证明：延长CD至点E，使DE=CD ，连结AE、BE ．

（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．

图①
（2）（结论应用）如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的度数为°．
（3）在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 的平分线交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 是上半圆的中点， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是下半圆上一点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合）， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将弦AB与 $\text{[math]}$ 所围成的弓形（包括边界的阴影部分）绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，点A的对应点为 $\text{[math]}$ ．

（1）点O到线段AB的距离是； $\text{[math]}$ °；当点O落在阴影部分（包括边界）时， $\text{[math]}$ 的取值范围是；
（2）若线段 $\text{[math]}$ 与优弧ACB的交点为D ，当 $\text{[math]}$ 时，点DAO的延长线上（填“在”或“不在”）；
（3）当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切时，求 $\text{[math]}$ 的值并求此时点 $\text{[math]}$ 运动路径的长度．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是．

如图所示，半径为1的圆心角为60°的扇形纸片OAB在直线L上向右做无滑动的滚动．且滚动至扇形 $\text{[math]}$ 处，则顶点O所经过的路线总长是．

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是 $\text{[math]}$ 内部的一个动点，满足 $\text{[math]}$ ，则线段CP长的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，点M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 .

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，过原点O作 $\text{[math]}$ ，垂足为H，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 12 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

阅读理解：如图1， $\text{[math]}$ 与直线a，b都相切，不论 $\text{[math]}$ 如何转动，直线a，b之间的距离始终保持不变（等于 $\text{[math]}$ 的半径），我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”．图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进．据说，古埃及就是利用这种方法将巨石推到金字塔顶的．

拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”．如图4，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c，d之间的距离等于4cm，则莱洛三角形的周长为cm．

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的半径为1，对于点A和线段 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若将线段 $\text{[math]}$ 绕点A旋转可以得到 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的对应点），则称线段 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的以点A为中心的“关联线段”．

（1）如图，点 $\text{[math]}$ 的横､纵坐标都是整数．在线段 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的以点A为中心的“关联线段”是；
（2） $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形，点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的以点A为中心的“关联线段”，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值和最大值，以及相应的 $\text{[math]}$ 长．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ 对于点 $\text{[math]}$ 给出如下定义：将点 $\text{[math]}$ 向右 $\text{[math]}$ 或向左 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再向上 $\text{[math]}$ 或向下 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，称点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“对应点”．

（1）如图，点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，若点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“对应点”．
①在图中画出点 $\text{[math]}$ ；
②连接 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ 的半径为1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外一点，点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“对应点”，连接 $\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时直接写出 $\text{[math]}$ 长的最大值与最小值的差（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）