三角形的重心及应用知识点题库

在⊙O中，AB是直径，AC是切线且AC=AB，联结BC交⊙O于点D，试仅用无刻度直尺，作以D为切点的⊙O的切线DT．

三角形的重心在（）

A . 三角形的内部 B . 三角形的外部 C . 三确形的边上 D . 要根据三角形的形状确定

三角形的重心是三角形的（）

A . 三条角平分线的交点 B . 三条垂直平分线的交点 C . 三条高线的交点 D . 三条中线的交点

$\text{[math]}$ 中，斜边 $\text{[math]}$ ，则该三角形的重心与外心之间的距离是（）

A . 3 B . 4 C . 6 D . 8

如图，已知点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 分别交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，那么用向量 $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ 为．

在△ABC中，点G是重心，∠BGC=90°，BC=8，那么AG的长为．

我们知道， $\text{[math]}$ 的重心就是三条中线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交点G，如图1，其中 $\text{[math]}$ .如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕其重心G旋转，A、B、C的对应点分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的最大值最接近的是（）

（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 5.5 B . 6.5 C . 7.5 D . 8.5

三角形的重心是指（）

A . 三个内角平分线的交点 B . 三边上的高的交点 C . 三条中线的交点 D . 三边垂直平分线的交点

下列说法正确的是（）

A . 三角形三条中线的交点是三角形重心 B . 等弦所对的圆周角相等 C . 长度相等的两条弧是等弧 D . 三角形的外心到三边的距离相等

如图，已知 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ；过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如此继续，可以依次得到点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

如图，在△ABC中，点D是边AC上的任意一点，点M，N分别是△ABD和△BCD的重心，如果AC＝6，那么线段MN的长为.

如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=.

我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.

（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，DC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形.（填“是”或“否”）
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连接AA'交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心，求 $\text{[math]}$ 的值.
（3）应用拓展：
如图3，已知l₁∥l₂ ， l₁与l₂之间的距离为2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l₁上，点A在直线l₂上，有一边的长是BC的 $\text{[math]}$ 倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B′C，A′C所在直线交l₂于点D，直接写出CD的值.

已知直角三角形的两条直角边长分别是3厘米，4厘米，则此直角三角形的重心与外心之间的距离为厘米.

如图，点G为△ABC的重心，过点G作BC的平行线分别交AB，AC于点D，E，当BC＝3时，DE的长为 .

如图，在 $\text{[math]}$ 中，D，E分别是AB，AC上的点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交DE于点 $\text{[math]}$ ，交BC于点 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ .
（2）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心， $\text{[math]}$ ，求AB的长.

如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，交AB，AC于点E，F.若BC＝6，则EG的长为（）

A . 2 B . 3 C . 3.5 D . 4

点G为ΔABC的重心（三角形三条中线的交点），BC＝12，∠A＝60°.

（1）若∠C＝30°，则BG＝.
（2） BG的最大值为.

如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，边AB，BC分别与网格线交于点D，E，连接AE，CD交于点F，则点F为△ABC的（）

A . 内心 B . 外心 C . 重心 D . 中心

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的垂直平分线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ ；
（3） $\text{[math]}$ 的值等于.（直接写出结果，无需解答过程）

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