三角形的重心及应用知识点题库

如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心，设 BC=a．

（1） DE= （用向量 $\text{[math]}$ 表示）；
（2）设 AB=b，在图中求作 $\text{[math]}$ ．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点G是 $\text{[math]}$ 的重心，GH垂直于AB，垂足为H，则 $\text{[math]}$ .

如图，已知点M是△ABC的重心，AB＝18，MN∥AB，则MN＝.

在 $\text{[math]}$ 中，边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的中线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ .

如图，△ABC两边的中线BE，CF相交于点G，若S_△ABC＝10，则图中阴影部分面积是.

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如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论： ① $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ .其中正确的个数有（）

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A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

已知P是△ABC的重心，且PE∥BC交AB于点E，BC＝ $\text{[math]}$ ，则PE的长为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F.若△ABF的面积是4，则四边形DCEF的面积是（）

A . 3.5 B . 4 C . 4.5 D . 5

下列命题①因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④三角形三条中线的交点叫做这个三角形的重心；⑤内错角相等，其中，真命题的个数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图△ABC中，G为重心，若AG=2，则AD=。

已知点G是△ABC的重心，AG＝4，那么点G与边BC中点之间的距离是．

在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点G是△ABC的重心，那么AG＝．

如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是.

如图，已知△ABC三条中线相交于点O ，则△ABO与△DBO的面积之比为

如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上的点、且 $\text{[math]}$ ，中线 $\text{[math]}$ 被 $\text{[math]}$ 截得的三线段为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

如图，AE，CF分别是等腰Rt△ABC中CB、AB边上的中线，相交于点G，若斜边AB的长为6，则AG长为（）

A . 3 B . 3 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

下列命题中，说法正确的是（）

A . 所有菱形都相似 B . 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似 C . 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍 D . 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ ，抛物线顶点为A，与y轴交点为B，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线对称轴交于点C.

（1）抛物线顶点坐标为（用m，n表示），
（2）当抛物线的顶点落在直线 $\text{[math]}$ 上时，求n的最大值.
（3）若四边形ABOC为平行四边形
①求m的值.

②若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求n的值.

③过C点作线段 $\text{[math]}$ ，设CE=a，是否存在实数a值使 $\text{[math]}$ 的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a和n的关系式，若不存在，请说明理由.