22.3 实际问题与二次函数知识点题库

如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A（2，1），

（1）求出二次函数的表达式；

（2）我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．

（3）过y轴的正半轴上一点C（0，a）作AO的平行线交抛物线于点B，

①求出直线BC的函数表达式（用a表示）；

②如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数．

密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．

某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．

（1）求y关于x的函数表达式；
（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．

如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S_△_ABC= $\text{[math]}$ ，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．

（1）求tanA的值；
（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．

某公司开发出一种高科技电子节能产品，投资2500万元一次性购买整套生产设备，此外生产每件产品需成本20元，每年还需投入500万广告费，按规定该产品的售价不得低于30元/件且不得高于70元/件，该产品的年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如下表：

x（元/件）	30	31	…	70
y（万件）	120	119	…	80

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）第一年公司是盈利还是亏损？冰球出当盈利最大或亏损最小时该产品的售价；
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品定价，能否使两年盈利3500万元？若能，求第二年产品的售价；若不能，说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC．
①求n的值；
②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由；
（3）
直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点 M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为 $\text{[math]}$ ．求点H到OM'的距离d的值．

如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；
（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）满足一次函数关系，且相关信息如下：

售价x（元）	60	70	80	90	……
销售量y（件）	280	260	240	220	……

（1）求这个一次函数关系式；
（2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？

如图，在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，AC=1，AB=2，则何时矩形PMCN的面积最大？最大面积是多少？

为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m²的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m²），种草所需费用y₁（元）与x（m²）的函数关系式为 $\text{[math]}$ ，其图象如图所示：栽花所需费用y₂（元）与x（m²）的函数关系式为y₂=﹣0.01x²﹣20x+30000（0≤x≤1000）．

（1）请直接写出k₁、k₂和b的值；
（2）设这块1000m²空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m² ，栽花部分的面积不少于100m² ，请求出绿化总费用W的最小值．

某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量 $\text{[math]}$ 箱与销售价 $\text{[math]}$ 元/箱之间的函数关系式．
（2）当每箱苹果的销售价 $\text{[math]}$ 为多少元时，可以使获得的销售利润w最大？最大利润是多少？

小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.

（1）设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题.

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算.
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象经过点A和点C.

（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒(t>0)。

（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值。若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值。

某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：

每千克售价x（元）	…	25	30	35	…
日销售量y（千克）	…	110	100	90	…

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量 $\text{[math]}$ （袋 $\text{[math]}$ 与销售单价 $\text{[math]}$ （元 $\text{[math]}$ 之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．

销售单价 $\text{[math]}$ （元 $\text{[math]}$	3.5	5.5
销售量 $\text{[math]}$ （袋 $\text{[math]}$	280	120

（1）请求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；
（2）设每天的利润为 $\text{[math]}$ 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 $\text{[math]}$ 喷出， $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ .水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为 $\text{[math]}$ .建立平面直角坐标系，水流喷出的高度 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 之间近似满足函数关系 $\text{[math]}$ ，则水流喷出的最大高度为（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，另一个交点为A，且与y轴相交于C点

（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
（3） P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q
$\text{[math]}$ 当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

$\text{[math]}$ 点P的横坐标为 $\text{[math]}$ ，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由.

$\text{[math]}$ 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截而示意图，取某一位置的水平线为 $\text{[math]}$ 轴，过跳台终点 $\text{[math]}$ 作水平线的垂线为 $\text{[math]}$ 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线 $\text{[math]}$ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 $\text{[math]}$ 正上方 $\text{[math]}$ 米处的 $\text{[math]}$ 点滑出，滑出后沿一段抛物线 $\text{[math]}$ 运动．

（1）当运动员运动到离 $\text{[math]}$ 处的水平距离为 $\text{[math]}$ 米时，离水平线的高度为 $\text{[math]}$ 米，求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数解析式（不要求写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为 $\text{[math]}$ 米？

22.3 实际问题与二次函数 知识点题库

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