题目

课本中有一道作业题： 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少mm？ 小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题. （1） 如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算. （2） 如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长. 答案： 解：设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm） ∵PN∥BC, ∴ AEAD = APAB ，△APN∽△ABC ∴ APAB = PNBC ∴ AEAD = PNBC ∴ 80−y80 = 2y120 解得 y= 2407 ∴2y= 4807 ∴这个矩形零件的两条边长分别为 2407 mm， 4807 mm 解：设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）。. 由（1）知 AEAD = PNBC ∴ 80−x80 = y120 ∴ y= −32x+120 则S=xy= x(−32x+120) = −32x2+120x = −32(x−40)2+2400 ∵ −32<0 ∴ S有最大值 ∴当x=40时，S最大=2400（mm2） 此时，y= −32×40+120 ="60" 。 ∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm。

查看本题答案和解析