题目

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C. （1）求二次函数的表达式；（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 答案：解：∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点， ∴A（3，0），B（0，﹣3）， ∵点B关于x轴的对称点是C， ∴C（0，3）， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、点C， ∴ {c=39a+3b+c=0 ， ∴b＝2，c＝3， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 解：∵A（3，0），C（0，3），平移线段AC，点A的对应为点D，点C的对应点为E，设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6）， ∵D落在二次函数在第四象限的图象上， ∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6， m1＝1，m2＝﹣6（舍去）， ∴D（4，﹣5），解：∵C（0，3），D（4，﹣5）， ∴ {b=34k+b=−5 ，解得 {k=−2b=3 ， ∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3，令y＝0，则x＝ 32 ， ∴M（ 32 ，0）， ∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于A（3，0），C （0，3）， ∴AO＝3，OC＝3， ∴∠OAC＝45°，过点P作PF⊥AC，点P作PN⊥OA交AC于点E，连PC， ∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3）， ∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∴EN＝﹣m+3，AE＝ 2(−π+3) ，FE＝ 22(−m2+3m) ， ∴CF＝AC﹣AE﹣EF＝ 22m2−22m ， ①当△COM∽△PFC， PFCF=OMOC=323=12 ， ∴ 22(−m2+3m)22(m2−m)=12 ，解得m1＝0，舍去， m2=73 ， ②当△COM∽△CFP时， PFCF=OCOM=21 ， ∴ 22(−m2+3m)22(m2−m)=21 ，解得m1＝0（舍去）， m2=53 ，综合可得P点的横坐标为 53 或 73 .

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