题目

已知 ，其前 项和为 . （1） 计算 ； （2） 猜想 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 答案： 解：计算 S1=1,S2=1+11+2=43 ， S3=43+11+2+3=64=32,S4=32+11+2+3+4=85 解：猜想 Sn=2nn+1 . 证明：①当 n=1 时，左边 =S1=1 ，右边 =2×11+1=1 ，猜想成立. ②假设 n=k(k∈N*) 猜想成立，即 Sk=11+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+k=2kk+1 成立， 那么当 n=k+1 时， Sk+1=Sk+11+2+3+⋯+k+k+1=2kk+1+2(k+1)(k+2) ， 而 2kk+1+2(k+1)(k+2)=2(k+1)2(k+1)(k+2)=2(k+1)(k+1)+1 ，故当 n=k+1 时，猜想也成立. 由①②可知，对于 n∈N* ，猜想都成立

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