题目

已知动圆P与x轴相切且与圆x2+(y-2)2=4相外切，圆心P在x轴的上方，P点的轨迹为曲线C. （1） 求C的方程； （2） 已知E(4,2)，过点(0,4)作直线交曲线C于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线相交于D，当△ABE的面积S1与△ABD的面积S2之比 取最大值时，求直线AB的方程. 答案： 解：由题意知， P 到点(0,2)的距离等于它到直线 y=−2 的距离， 由抛物线的定义知，圆心 P 的轨迹是以(0,2)为焦点，以 y=−2 为准线的抛物线(除去坐标原点 ) ，则 C 的方程为： x2=8y(x≠0) 解：由题意知， E(4,2) 在曲线 C 上，直线 AB 的斜率存在，设 AB 方程为 y=kx+4 ， ∵直线 AB 不经过 E 点，知 k≠−12 . 联立曲线方程有 {y=kx+4x2=8y ，得 x2−8kx−32=0 ，设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=8k,  x1x2=−32 ， 以 A 为切点的切线方程为 y−y1=x14(x−x1) ，即 y=x14x−x128 ，同理以 B 为切点的切线为 y=x24x−x228 ， ∴由 {y=x14x−x128y=x24x−x228 ，得 D(4k,−4) 设 E 到 AB 的距离为 d1,D 到 AB 的距离为 d2 ，则 S1S2=d1d2=|4k−2+4|k2+1|4k2+4+4|k2+1=|2k+1||2k2+4| ， 设 2k+1=t(t≠0), 则 S1S2=2|t+9t−2| ， ∴当 t=3 ，即 k=1 时， S1S2 取最大值，此时直线 AB 的方程为 x−y+4=0.

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