题目

如图（5），已知为不在同一直线上的三点，且， . (1)求证:平面//平面； (2)若平面，且,, 求证：A1C丄平面AB1C1 (3)在（2）的条件下，求二面角C1-AB1 -C的余弦值. 答案：解：（1）证明：∵且 ∴四边形是平行四边形， ∴,∵面，面 ∴平面， 同理可得平面,又, ∴平面//平面 (2)证法1： ∵平面，平面∴平面平面， 平面平面=， ∵,,   ∴ ∴  ∴平面 ∴，∵∴ 又,得为正方形，∴ 又, ∴A1C丄平面AB1C1 【证法2：∵,,   ∴ ∴， ∵平面，  ∴平面 以点C为原点，分别以AC、CB、CC1所在的直线为x、y、z轴建立空间 直角坐标系如图示，由已知可, , 则, ∵   ∴ 又∴平面. (3)由（2）得 设平面的法向量，则由得， 令得 由（2）知是平面的法向量，∴, 即二面角C1-AB1 -C的余弦值为. （其它解法请参照给分）

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