回归分析的初步应用知识点题库

某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）调查，y与x具有相关关系，回归方程y=0.66x+1.562，若A城市居民人均消费水平为7.765（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为

（　　）

A . 83% B . 72% C . 67% D . 66%

一只药用昆虫的产卵数 $\text{[math]}$ 与一定范围内的温度 $\text{[math]}$ 有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：

温度 $\text{[math]}$	21	23	24	27	29	32
产卵数 $\text{[math]}$ /个	6	11	20	27	57	77

附：一组数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计为 $\text{[math]}$ ；相关指数 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

（1）若用线性回归模型，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程 $\text{[math]}$ （精确到0.1）；
（2）若用非线性回归模型求 $\text{[math]}$ 关 $\text{[math]}$ 的回归方程为 $\text{[math]}$ ，且相关指数 $\text{[math]}$
①试与（1）中的线性回归模型相比，用 $\text{[math]}$ 说明哪种模型的拟合效果更好.
②用拟合效果好的模型预测温度为 $\text{[math]}$ 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.

已知变量 $\text{[math]}$ 之间满足线性相关关系 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 之间的相关数据如下表所示：

则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 0.8 B . 0.6 C . 1.6 D . 1.8

在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：

	1	2	3	4	5
价格x	1.4	1.6	1.8	2	2.2
需求量y	12	10	7	5	3

已知 $\text{[math]}$ ，

（1）画出散点图；
（2）求出y对x的线性回归方程；
（3）如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．
参考公式： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 $\text{[math]}$ 的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：

参考公式：回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率 $\text{[math]}$ 与月份代码 $\text{[math]}$ 之间的关系，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程，并预测 $\text{[math]}$ 公司2017年4月的市场占有率；

（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为 $\text{[math]}$ 元/辆和1200元/辆的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如下：

寿命

车型

1年

2年

3年

4年

总计

100

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是 $\text{[math]}$ 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？

近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对2018年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率.

（1）若在该市场随机选取3个2018年成交的二手电脑，求至少有2个使用时间在 $\text{[math]}$ 上的概率；
（2）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图，其中 $\text{[math]}$ （单位：年）表示折旧电脑的使用时间， $\text{[math]}$ （单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格.

（ⅰ）由散点图判断，可采用 $\text{[math]}$ 作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限 $\text{[math]}$ 的回归方程，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，选用如下参考数据，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

5.5

8.5

1.9

301.4

79.75

385

（ⅱ）根据回归方程和相关数据，并用各时间组的区间中点值代表该组的值，估算该交易市场收购1000台折旧电脑所需的费用

附：参考公式：对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限 $\text{[math]}$ 与所支出的总费用 $\text{[math]}$ （万元）有如表的数据资料：

使用年限 $\text{[math]}$	2	3	4	5	6
总费用 $\text{[math]}$	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）在给出的坐标系中作出散点图；
（2）求线性回归方程 $\text{[math]}$ 中的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；
（3）估计使用年限为 $\text{[math]}$ 年时，车的使用总费用是多少？
（最小二乘法求线性回归方程系数公式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .）

某小组为了研究昼夜温差对一种稻谷种子发芽情况的影响，他们分别记录了4月1日至4月5日的每天星夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：

日期	4月1日	4月2日	4月3日	4月4日	4月5日
温差 $\text{[math]}$	9	10	11	8	12
发芽数 $\text{[math]}$ （颗）	38	30	24	41	17

利用散点图，可知 $\text{[math]}$ 线性相关。

（公式： $\text{[math]}$ ）

（1）求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程，若4月6日星夜温差 $\text{[math]}$ ，请根据你求得的线性同归方程预测4月6日这一天实验室每100颗种子中发芽颗数；
（2）若从4月1日 $\text{[math]}$ 4月5日的五组实验数据中选取2组数据，求这两组恰好是不相邻两天数据的概率.

某农科所发现，一种作物的年收获量 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与它“相近”作物的株数 $\text{[math]}$ 具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 $\text{[math]}$ ），并分别记录了相近作物的株数为 $\text{[math]}$ 时，该作物的年收获量的相关数据如下：

参考公式：线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

相关系数 $\text{[math]}$ ；

参考数值： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）根据研究发现，该作物的年收获量 $\text{[math]}$ 可能和它“相近”作物的株数 $\text{[math]}$ 有以下两种回归方程： $\text{[math]}$ ，利用统计知识，结合相关系数 $\text{[math]}$ 比较使用哪种回归方程更合适；
（2）农科所在如下图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为 $\text{[math]}$ ，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（1）中选择的回归方程计算所得数据为依据）

某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：

（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）利用(1)中的回归方程，当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
参考公式：线性回归方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

已知随机变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有相关关系 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的预报值为.

某地区不同身高 $\text{[math]}$ 的未成年男孩的体重平均值 $\text{[math]}$ 如下表：

身高 $\text{[math]}$	60	70	80	90	100
体重 $\text{[math]}$	6.13	7.90	9.99	12.15	15.02

已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在很强的线性相关性，

（1）据此建立 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的回归方程；
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高 $\text{[math]}$ 体重为 $\text{[math]}$ 的在校男生的体重是否正常？
参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数如下表所示：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差x(℃)	10	11	13	12	8
发芽数y(颗)	23	25	30	26	16

该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．

（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率．
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y关于x的线性回归方程 $\text{[math]}$ .
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？

由一组样本数据 $\text{[math]}$ 得到的回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，那么下面说法不正确是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 必经过点 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 至少经过点 $\text{[math]}$ 中的一个 C . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 和各点 $\text{[math]}$ 的总偏差 $\text{[math]}$ 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线

某村海拔1500米，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村．该省政府办公厅组建了精准扶贫组进行定点帮扶，扶贫组在实地调研和充分听取群众意见后，立足当地独特优势，大力发展高山蔬菜和生态黑猪，有效带动了全村父老乡亲脱贫奔小康．村民甲在企业帮扶下签订合同，代养生态黑猪，2016年至2020年养殖黑猪的年收入y(单位：万元）的数据如下表：

年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份代号x	1	2	3	4	5
年收入y	5.6	6.5	7.4	8.2	9.1

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\text{[math]}$ .

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程：
（2）利用（1）中的回归方程，预测2021年该村民养殖黑猪的年收入．

2021年，我国新型冠状病毒肺炎疫情已经得到初步控制，抗疫工作取得阶段性胜利．某市号召市民接种疫苗，提出全民“应种尽种”的口号，疫苗成了重要的防疫物资．某疫苗生产厂不断加大投入，高速生产，现对其某月内连续9天的日生产量 $\text{[math]}$ （单位：十万支，i＝1，2，…，9）数据作了初步统计，得到如图所示的散点图及一些统计量的数值：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
2.72	19	139.09	1095

注：图中日期代码1~9分别对应这连续9天的时间：表中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）从这9天中随机选取3天，求这3天中恰有2天的日生产量不高于三十万支的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线 $\text{[math]}$ 的附近，求y关于t的方程 $\text{[math]}$ ，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万支．
参考公式：回归方程 $\text{[math]}$ 中，斜率和截距的最小二乘估计公式为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．参考数据： $\text{[math]}$ ．

某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价 $\text{[math]}$ 和销售量 $\text{[math]}$ 之间的一组数据如表所示：

月份 $\text{[math]}$	7	8	9	10	11	12
销售单价 $\text{[math]}$ （元）	9	9.5	10	10.5	11	8.5
销售量 $\text{[math]}$ （元）	11	10	8	6	5	14

（1）根据7至11月份的数据，求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．
参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

参考公式：回归直线方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限 $\text{[math]}$ 和所支出的维修费用 $\text{[math]}$ (万元)的几组对照数据：

$\text{[math]}$ (年 $\text{[math]}$	3	4	5	6
$\text{[math]}$ (万元)	2.5	3	4	4.5

（1）若知道 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$
（2）已知工厂技改前该型号设备使用10年的维修费用为9万元.试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低多少？
参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .