题目

某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价 和销售量 之间的一组数据如表所示： 月份 7 8 9 10 11 12 销售单价 （元） 9 9.5 10 10.5 11 8.5 销售量 （元） 11 10 8 6 5 14 （1） 根据7至11月份的数据，求出 关于 的回归直线方程； （2） 若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？ （3） 预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）． 参考数据： ， ． 参考公式：回归直线方程 ，其中 ， ． 答案： 因为 x¯=15(9+9.5+10+10.5+11)=10 ， y¯=15(11+10+8+6+5)=8 ，所以 b^=392−5×10×8502.5−5×102=−3.2 ，则 a^=8−(−3.2)×10=40 ， ∴ y 关于 x 的回归直线方程为 y^=−3.2x+40 剩余数据为12月份，此时 x=8.5 ， y=14 ，现进行检测，当 x=8.5 时， y^=−3.2×8.5+40=12.8 ，则 |y^−y|=12.8−14=1.2<2 ，所以可以认为所得的回归直线方程是理想的． 令销售利润为 W ，则 W=(x−2.5)(−3.2x+40)=−3.2x2+48x−100=−3.2(x−7.5)2+80 ． ∴当 x=7.5 时， W 取最大值． 所以该产品的销售单价为7.5元/件时，获得的利润最大．

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