回归分析的初步应用知识点题库

某热饮店6天卖的热茶杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的，已知这6天气温平均12℃，回归方程为y=﹣2x+58，则这6天热饮店平均卖出热茶杯数为

某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：

推销员编号	1	2	3	4	5
工作年限x/年	3	5	6	7	9
推销金额y/万元	2	3	3	4	5

（1）以工作年限为自变量x，推销金额为因变量y，作出散点图；

（2）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；

（3）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．

设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i ， y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 $\text{[math]}$ =0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）

A . y与x具有正的线性相关关系 B . 回归直线过样本点的中心（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） C . 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D . 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

某车间为了规定工时定额，需要确定加个某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：

零件的个数x（个）	2	3	4	5
加工的时间y（小时）	2.5	3	4	4.5

（1）求出y关于x的线性回归方程；
（2）试预测加工10个零件需要多少时间？

某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表

商店名称

销售额x（千万元）

利润额y（百万元）

（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性．
（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．

两个相关变量满足如下关系：

$\text{[math]}$	2	3	4	5	6
$\text{[math]}$	25	●	50	56	64

根据表格已得回归方程： $\text{[math]}$ ，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是( )

A . 37 B . $\text{[math]}$ C . 39 D . $\text{[math]}$

教材上一例问题如下：

一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表，试建立y与x之间的回归方程．

温度 x/℃	21	23	25	27	29	32	35
产卵数y/个	7	11	21	24	66	115	325

某同学利用图形计算器研究它时，先作出散点图（如图所示），发现两个变量不呈线性相关关系．根据已有的函数知识，发现样本点分布在某一条指数型曲线 $\text{[math]}$ 的附近（ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是待定的参数），于是进行了如下的计算：

根据以上计算结果，可以得到红铃虫的产卵数y对温度x的回归方程为．（精确到0.0001）（提示： $\text{[math]}$ 利用代换可转化为线性关系）

已知某校5个学生期末考试数学成绩和总分年级排名如下表：

学生的编号 $\text{[math]}$	1	2	3	4	5
数学 $\text{[math]}$	115	112	93	125	145
年级排名 $\text{[math]}$	250	300	450	70	10

参考数据和公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$

（1）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和总分年级排名具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用 $\text{[math]}$ 表示数学成绩，用 $\text{[math]}$ 表示年级排名，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的回归方程；（其中 $\text{[math]}$ 都取整数）
（2）若在本次考试中，预计数学分数为120分的学生年级排名大概是多少？

2019年5月5日6时许，桂林市雁山区一出租房发生一起重大火灾，事故发生后，附近消防员及时赶到，控制住火情，将灾难损失降到了最低．某保险公司统计的数据表明：居民住宅区到最近消防站的距离 $\text{[math]}$ (单位：千米)和火灾所造成的损失数额 $\text{[math]}$ (单位：千元)有如下的统计资料：

距消防站距离 $\text{[math]}$ （千米）	1.8	2.6	3.1	4.3	5.5	6.1
火灾损失费用 $\text{[math]}$ （千元）	17.8	19.6	27.5	31.3	36.0	43.2

如果统计资料表明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有线性相关关系，试求(解答过程中，各种数据都精确到0.01)

（I）相关系数 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）线性回归方程；

（Ⅲ）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失．

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

参考公式：相关系数 $\text{[math]}$

回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布 $\text{[math]}$ ．

附：若随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其回归线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于 $\text{[math]}$ 克该海产品的概率．
（2） 2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入 $\text{[math]}$ （千元）与年收益增量 $\text{[math]}$ （千元）（ $\text{[math]}$ ）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 $\text{[math]}$ 的附近，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．根据所给的统计量，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．

某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数 $\text{[math]}$ 与烧开一壶水所用时间 $\text{[math]}$ 的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

表中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）根据散点图判断， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 哪一个更适宜作烧水时间 $\text{[math]}$ 关于开关旋钮旋转的弧度数 $\text{[math]}$ 的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程；
（3）若单位时间内煤气输出量 $\text{[math]}$ 与旋转的弧度数 $\text{[math]}$ 成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知 $\text{[math]}$ 为多少时，烧开一壶水最省煤气？

2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.

为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .

附：对于一组数据（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考数据：其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
5.5	390	19	385	7640	31525	154700	100	150	225	338	507

（1）根据散点图判断， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：

时间	1月25日	1月26日	1月27日	1月28日	1月29日
累计确诊人数的真实数据	1975	2744	4515	5974	7111

（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？

（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？

2018年播放的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品 $\text{[math]}$ 的研发费用 $\text{[math]}$ （百万元）和销量 $\text{[math]}$ （万盒）的统计数据如下：

研发费用 $\text{[math]}$ （百万元）	1	2	3	4	5
销量 $\text{[math]}$ （万盒）	0.7	1.5	2.0	2.5	3.3

（1）根据最小二乘法求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ；
（2）利用（1）中的回归方程，预测销售10万盒特效药品 $\text{[math]}$ 需要多少研发费用？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间 $\text{[math]}$ 与乘客等候人数 $\text{[math]}$ 之间的关系，经过调查得到如下数据：

间隔时间（ $\text{[math]}$ 分钟）	10	11	12	13	14	15
等侯人数（ $\text{[math]}$ 人）	23	25	26	29	28	31

调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 $\text{[math]}$ ，再求 $\text{[math]}$ 与实际等候人数 $\text{[math]}$ 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.

附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）若选取的是后面4组数据，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；
（2）为了使等候的乘客不超过35人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？

某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数 $\text{[math]}$ （万人）与年份 $\text{[math]}$ 的数据：

第x年	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
旅游人数y（万人）	300	283	321	345	372	435	486	527	622	800

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的两个回归模型：

模型①：由最小二乘法公式求得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 $\text{[math]}$ 的附近．

参考公式、参考数据及说明：

①对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 $\text{[math]}$ ．②刻画回归效果的相关指数 $\text{[math]}$ ；③参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	449	6.05	83	4195	9.00

表中 $\text{[math]}$ ．

（1）根据表中数据，求模型②的回归方程 $\text{[math]}$ ．（ $\text{[math]}$ 精确到个位， $\text{[math]}$ 精确到0.01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数 $\text{[math]}$ ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

回归方程

① $\text{[math]}$

② $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

30407

14607

已知变量y与x线性相关，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且y与x的线性回归直线的斜率为6.5，则由y与x的线性回归方程可得，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 $\text{[math]}$ （吨）与相应的生产能耗 $\text{[math]}$ （吨）标准煤的几组对照数据：

$\text{[math]}$	3	4	5	6
$\text{[math]}$	2.5	3	4	4.5

（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ；
（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？