空间几何体知识点题库

我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为 $\text{[math]}$ 升（一升为一立方分米），上底边长为 $\text{[math]}$ 分米，下底边长为 $\text{[math]}$ 分米，则该方斗的外接球的表面积为平方分米.

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如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形且垂直于底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）点M在棱 $\text{[math]}$ 上，且二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，M，N分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，过直线 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 截该正方体所得截面的面积为（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，五面体 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ 等腰三角形，且 $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（Ⅰ）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值.

如图，已知长方体 $\text{[math]}$ 中，F是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点E，连接 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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如图，已知三棱台 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形， $\text{[math]}$ ，O为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置，使得 $\text{[math]}$ .

（1）作出平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线 $\text{[math]}$ ，并证明 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 于异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的一点，连接 $\text{[math]}$ ，当二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求此时三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.

如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 $\text{[math]}$ ，底面周长为 $\text{[math]}$ ，在容器内壁离容器底部 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点且 $\text{[math]}$ 如图甲，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大.连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，如图乙，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

下列说法正确的是（）

A . 平行于同一平面的两条直线平行 B . 垂直于同一直线的两条直线垂直 C . 与某一平面所成角相等的两条直线平行 D . 垂直于同一条直线的两个平面平行

在楼长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则四面体 $\text{[math]}$ 的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面的射影O为△ABC的垂心，着S_△_AEC·S_△_OBC=S²_△_PEC ，且三棱锥P-ABC的外接球半径为4，则S_△_PAB+S_△_PEC+S_△_PAC的最大值为.

如图，在直三棱柱ABC-A，B1Cq中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA₁=6，点E，F分别为CA1与AB的中点．

（1）证明：EF∥平面BCC Br；
（2）求B₁F与平面AEF所成角的正弦值．

如图，平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝60°.CD＝CC₁＝1.则A₁C与平面C₁BD（填“垂直”或“不垂直”）；A₁C的长为.

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，有下列三个结论：

① $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ．

其中所有正确结论的序号是（）

A . ①②③ B . ②③ C . ①③ D . ①②

紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： $\text{[math]}$ ），那么该壶的容积约为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若 $\text{[math]}$ 都是直角圆锥 $\text{[math]}$ 底面圆的直径，且 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中，D，E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， M为BD的中点，则下列说法正确的是（）

A . AF，BE为异面直线 B . $\text{[math]}$ 平面ADF C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为45°

如图，已知斜三棱柱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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