题目

（本题满分10分，每小题5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长；（2）求证：AE2＝EB·EC． 答案：（1）（2）证明略解析:解：（1）解法一：                        解法二：∵AB为⊙O的直径，                    ∵AB为⊙O的直径，∠B＝30°，∴∠ACB＝90°．……1分               ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝…2分∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，   ∵弦CD⊥直径AB于点M，∴BC＝AB•cos30°＝2×…2分   ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分 ∵弦CD⊥直径AB，∠B＝30°，        ∴CD＝2CM＝2×∴ CM＝BC=.……4分                     ＝2×＝……5分CD＝2CM＝．……5分  （其它解法请酌情给分）（2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分∴∠ACE＝∠BAE＝90°．  7分又∵∠E＝∠E，∴Rt△ECA∽Rt△EAB．    8分∴．  9分∴AE2＝EB•EC．  10分

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