题目

如图，五面体 中，平面 平面 ，而 是直角梯形， 等腰三角形，且 // ， ， ， ， ， . （Ⅰ）求证：四边形 为平行四边形； （Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值. 答案：解：（Ⅰ）在直角梯形 ABCD 中， AB // CD . 因为 AB⊂ 平面 ABE ， CD⊄ 平面 ABE ， 所以 CD //平面 ABE . 因为 CD⊂ 平面 CDE ，且平面 ABE∩ 平面 CDE=EF ， 所以 CD // EF . 因为 CD=EF ，所以四边形 CDEF 为平行四边形. （Ⅱ）取 AD 的中点 N ，连接 BN ， EN . 在等腰 △ADE 中， EN⊥AN 因为平面 ADE⊥ 平面 ABCD ，交线为 AD ， 又 EN⊥AD ，所以 EN⊥ 平面 ABCD . 所以 EN⊥BN ，由题意易得 AN⊥BN . 建立如图空间直角坐标系 N−xyz ， 则 N(0,0,0) ， A(2,0,0) ， B(0,23,0) ， C(−3,3,0) ， D(−2,0,0) ， E(0,0,2) ，又 EF=CD ，所以 F(−1,3,2) . 设平面 BCF 的法向量为 n→=(x,y,z) ， BF→=(−1,−3,2) ， BC→=(−3,−3,0) ， 则 {n⇀⋅BF⇀=0n⇀⋅BC⇀=0 ，即 {−x−3y+2z=0−3x−3y=0 ， 令 y=3 ，则 x=−1 ， z=1 . 于是 n→=(−1,3,1) . 又平面 ABCD 的法向量为 NE→=(0,0,2) ， 所以 cos〈n→,NE→〉=n→⋅NE→|n→||NE→|=55 . 由题知二面角 D−BC−F 的平面角为锐角， 所以二面角 D−BC−F 的余弦值为 55 .

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