题目

如图，已知斜三棱柱 ， ， ， ， 且平面平面. （1） 求证：； （2） 求直线与平面所成角的正弦值. 答案： 证明：连接A1C，因为，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，所以，BC⊥平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，BC⊥AC1.在菱形ACC1A1中，AC1⊥A1C，A1C∩BC=C，所以AC1⊥平面A1BC，又A1B⊂平面A1BC，所以A1B⊥AC1 解：取AC的中点D，连接BD，A1D，AD=12AC=1，∠A1AC=60∘，AA1=2，所以，A1D⊥AC，A1D=3，因为，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，A1D⊂平面ACC1A1，所以A1D⊥平面ABC，所以，直线A1B与平面ABC所成角为∠A1BD.∠BCA=90∘，BC=2，DC=1，DB=5，所以A1B=A1D2+DB2=22，所以，sin∠A1BD=A1DA1B=322=64. 故直线A1B与平面ABC所成角的正弦值为64

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