相似三角形的性质知识点题库

如图，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，且AB=AD=CD，请你将等腰梯形分成3个三角形，使得其中有两个是相似三角形，且相似比不为1．
现在请你参考示意图，另外再给出三种分割方法（注：在两个相似三角形中标明必要的角度．）

△ABC∽△DEF且它们的面积比为 $\text{[math]}$ ，则周长比是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，抛物线y=ax²+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．

（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知矩形ABCD中，AD=6，AB=12，P为边CD上的动点，过A点作AQ⊥AP，交CB的延长线于点Q，交AB于点E，若DP=x，CQ=y，

（1）试写出y与x的函数关系式．
（2）当x为何值时，△APE为等腰直角三角形？
（3）直接写出P点由D向C运动过程中，PQ的中点F运动的路径的长？

要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（）

A . 3cm B . 4cm C . 4.5cm D . 5cm

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．

如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的余弦值等于．

如图,△ABC中，A、B两个顶点在 $\text{[math]}$ 轴的上方,点C的坐标是(−1，0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的周长比为（）

A . 1：2 B . 2：3 C . 1：4 D . 4：9

如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=2 $\text{[math]}$ ．点P ， Q分别是BC ， AD边上的一个动点，连结BQ ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E ，连结PD ．

（1）若DQ= $\text{[math]}$ 且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长；
（2）在点P ， Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与园重叠部分的面积．

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．射线BD为∠ABC的平分线，交AC于点D．动点P以每秒2个单位长度的速度从点B向终点C运动．作PE⊥BC交射线BD于点E．以PE为边向右作正方形PEFG．正方形PEFG与△BDC重叠部分图形的面积为S．

图片_x0020_100015

（1）求tan∠ABD的值．
（2）当点F落在AC边上时，求t的值．
（3）当正方形PEFG与△BDC重叠部分图形不是三角形时，求S与t之间的函数关系式．

如图1，AD、BD分别是 $\text{[math]}$ 的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．

图片_x0020_100036

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，求∠ABC的度数，并直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个全等的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，E为边 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点E旋转，旋转过程中，边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点P，边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 延长线相交于点Q.

图片_x0020_100019

（1）求证： $\text{[math]}$ .
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

如图，已知正方形ABCD的边长为4, P是AB边上的一个动点，连结PD，作PQ⊥PD交BC边于点Q．当点P从点A出发向终点B运动时，点Q所经过的路径长为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如果两个相似三角形的面积比为4：9，那么这两个三角形的相似比为．

综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线.
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数.
（3）如图2，△ABC中，AC=2，DC= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，BD= $\text{[math]}$ ,CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CB长.