题目

已知矩形ABCD中，AD=6，AB=12，P为边CD上的动点，过A点作AQ⊥AP，交CB的延长线于点Q，交AB于点E，若DP=x，CQ=y， （1） 试写出y与x的函数关系式． （2） 当x为何值时，△APE为等腰直角三角形？ （3） 直接写出P点由D向C运动过程中，PQ的中点F运动的路径的长？ 答案： 解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=6，∠D=∠DAB=∠ABC=90°，∴∠ABQ=∠B，∵AQ⊥AP，∴∠DAP=∠QAB=90°﹣∠PAB，∴△ADP∽△ABQ，∴ DPBQ = ADAB ，∴ xy−6 = 612 ，∴y=2x+6，∴y与x的函数关系式为：y=2x+6 解：∵△APE为等腰直角三角形，∴∠APE=90°或∠AEP=90°，当∠APE=90°或∠AEP=90°时，则∠PAE=45°，∵AB∥CD，∴∠APD=∠PAE=45°，∴△ADP是等腰直角三角形，∴PD=AD=6，即当x=6时，△APE为等腰直角三角形 解：以B为坐标原点，直线BC，BA分别为x轴与y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，12），C（6，0），D（6，12），当点P与D重合时，B与Q重合，∴P1Q1的中点F1的坐标为（3，6），当点P与C重合时，由（1）知，△ADP∽△ABQ，∴ BQ12=126 ，∴BQ=24，∴P3Q3=30，∴P3Q3的中点F3（﹣9，0），当P为CD的中点时，同理得F2（﹣3，3），设直线F1F3的解析式为：y=kx+b，∴ {6=3k+b0=−9k+b ，∴ {k=12b=92 ，∴直线F1F3的解析式为：y= 12 x+ 92 ，当x=﹣3时，y=3，∴F2（﹣3，3）在直线F1F3上，∴PQ的中点F运动的路径为线段F1F3，即△AQ3C的中位线，∴AQ3= AB2+BQ32 =12 5 ，∴PQ的中点F运动的路径为6 5 ．

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