二次函数-动态几何问题知识点题库

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．

（1） ∠OBA=
（2）求抛物线的函数表达式
（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

如图，抛物线与x轴交于A（x₁ ， 0）、B（x₂ ， 0）两点，且x₁＜x₂ ，与y轴交于点C（0，﹣4），其中x₁ ， x₂是方程x²﹣4x﹣12=0的两个根．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；

（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；

（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=6，∠B=60°，∠D=90°，连结AC．动点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位的速度向终点C运动（点P不与点B、C重合）．过点P作PQ⊥BC交AB或AC于点Q，以PQ为斜边作Rt△PQR，使PR∥AB．设点P的运动时间为t秒．

（1）当点Q在线段AB上时，求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）
（2）当点R落在线段AC上时，求t的值．
（3）设△PQR与△ABC重叠部分图形的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．
（4）当点R到C、D两点的距离相等时，直接写出t的值．

如图，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD=2，BC=4．点M从B点出发以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时点N从D点出发以每秒1个单位的速度向终点A运动．过点N作NP⊥BC，垂足为P，NP=2．连接AC交NP于Q，连接MQ．若点N运动时间为t秒

（1）请用含t的代数式表示PC；
（2）求△CMQ的面积S与时间t的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？

如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O'，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．

（1）求抛物线的解析式：
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O'于点D，连结BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

已知：如图，抛物线y＝ax²+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

如图，已知：二次函数y=x²+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与 y 轴交于点 C（0，-3）在抛物线上.

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（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出当 PB+PC 最小时点 P的坐标；
（3）若抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6，求Q点坐标.

如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．

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（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小，请求出点P的坐标；
（3）设二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴的另一交点为点C，连接BC，点N是线段BC上一点，过点N作y轴的平行线交抛物线于点M，求当四边形OBMN为平行四边形时，点N的坐标．

如图①，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 两点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴正方向平移后，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 的对应点分别为点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，连接 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 三点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$

（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值；
（3）如图②，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标.

如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax²+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一动点，PE∥y轴，交直线BC于点E连接AP，交直线BC于点 D.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当AD＝2PD时，求点P的坐标；
（3）求线段 $\text{[math]}$ 的最大值；
（4）当线段 $\text{[math]}$ 最大时，若点F在直线BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接写出点F的坐标.

如图，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²﹣ $\text{[math]}$ x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q.

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（1）求A，C两点的坐标.
（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值.
（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 交x轴于点E，连接 $\text{[math]}$ .

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（1）求经过 $\text{[math]}$ 三点的抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为 $\text{[math]}$ 的中点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标.

平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点.

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（1）求抛物线的解析式和tan∠DAC；
（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S_△ACE＝2S_△ACD ，求点E的坐标；
（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动.求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长.

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣7（a≠0）经过点P（3，8），与x轴交于点A ， B（7，0），对称轴直线l交x轴于点M ，过点C（3，0）作射线CD交直线l于点D（D在x轴上方），AE $\text{[math]}$ CD交直线l于点E ， EF $\text{[math]}$ x轴交射线CD于点F ．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，当MD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当MD＝1时，过点F作FG⊥x轴于点G ，点H为射线FG上一点，连接CE ，当直线AH与直线CE的夹角为45°时，请直接写出FH的长．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点A ．

（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
（3）已知点P(0，2)，Q $\text{[math]}$ ，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

已知抛物线 $\text{[math]}$

（1）通过配方可以将其化成顶点式为，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴（填上方或下方），即 $\text{[math]}$ 0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的符合题意性给以说明；（为了便于说明，不妨设 $\text{[math]}$ 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

已知在平面直角坐标系xOy中，x轴上有一个动点M，记点M横坐标为m，抛物线y＝2x²＋m和直线y＝mx＋2交于点A，B（点B在点A右侧），记抛物线y＝2x²＋m的顶点为P.

（1）当m＝1时，求△ABP的面积.
（2）当点M从点(﹣1，0)运动到(1，0)的过程中，求线段PB所扫过的区域面积.
（3）当∠PBA＝90°时，求m的值.

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．

（1）用含有 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ；
（2）求抛物线顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．记抛物线在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的部分与线段 $\text{[math]}$ 围成的区域（不含边界）为 $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ 时，直接写出区域 $\text{[math]}$ 内整点的个数；

②若区域 $\text{[math]}$ 内恰有 $\text{[math]}$ 个整点，结合函数图象，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 的顶点坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；
（2）求抛物线的解析式；
（3） $\text{[math]}$ 绕平面内一点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，即点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出 $\text{[math]}$ 的坐标．

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