题目

已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. （1） 求抛物线解析式； （2） 当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？ （3） 过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 答案： 解：∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0） ∴ {9a−3b+3=0a+b+3=0 解得： {a=−1b=−2 ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3 解：过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F ∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3 ∴A（0，3） ∴直线AB解析式为y＝x+3 ∵点P在线段AB上方抛物线上 ∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0） ∴F（t，t+3） ∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t ∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝ 12 PF•OH+ 12 PF•BH＝ 12 PF•OB＝ 32 （﹣t2﹣3t）＝﹣ 32 （t+ 32 ）2+ 278 ∴点P运动到坐标为（﹣ 32 ， 154 ），△PAB面积最大 解：存在点P使△PDE为等腰直角三角形 设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3） ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4 ∴对称轴为直线x＝﹣1 ∵PE∥x轴交抛物线于点E ∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称 ∴ xE+xP2 ＝﹣1 ∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t ∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t| ∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90° ∴PD＝PE ①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t ∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t 解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2 ∴P（﹣2，3） ②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t ∴﹣t2﹣3t＝2+2t 解得：t1＝ −5+172 ，t2＝ −5−172 （舍去） ∴P（ −5+172 ， −5+3172 ） 综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（ −5+172 ， −5+3172 ）时使△PDE为等腰直角三角形.

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