二次函数-动态几何问题知识点题库

已知点A（0，2），B（2，0），点C在y=x²的图象上，若△ABC的面积为2，则这样的C点有( )

A . 1 个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

二次函数y=﹣（x﹣1）²+2的顶点坐标是（　　）

A . （1，﹣2） B . （1，2） C . （﹣1，2） D . （﹣1，﹣2）

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

如图，直线y=﹣x﹣4与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，其中A，B两点的横坐标分别为﹣1和﹣4，且抛物线过原点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是线段AB上不与A，B重合的动点，过点P作PE∥OA，与抛物线第三象限的部分交于一点E，过点E作EG⊥x轴于点G，交AB于点F，若S_△_BGF=3S_△_EFP ，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别O(0，0)，A(3，3 $\text{[math]}$ )，B(9，5 $\text{[math]}$ )，C(14，0).动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA−AB−BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ (单位长度/秒)﹒当P，Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．

（1）求AB所在直线的函数表达式.
（2）如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.
（3）在P，Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值.

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段PQ= $\text{[math]}$ AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

已知抛物线y=x²+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2） P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A²取得最小值时，求m的值．

如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），直线x=-3交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交于直线x=﹣3于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于M，交直线x=﹣3于点N。

（1）当点C在第二象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）设AP长为m，以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S，请求出S与M之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=-3上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标，如果不可能，请说明理由。

如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BA＝BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线 BA–AD–DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm² ．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．

请根据图中的信息，解答下列问题：

（1） AD＝cm，BC＝cm；
（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；
（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5．

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，已知A（0，3），C（3，0）.

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（1）抛物线的解析式；
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度运动到A后停止.若使点M在整个运动中用时最少，则点E的坐标.

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A(4，0)、B(1，0)，交y轴于点C.

（1）求抛物线的解析式.
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一点，过点P作 $\text{[math]}$ 于点H，求线段PH长度的最大值.
（3） Q为抛物线上的一个动点（不与点A、B、C重合）， $\text{[math]}$ 轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

已知， $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，且 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图所示．

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（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，试求出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标，并判断 $\text{[math]}$ 的形状；
（3）点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，距离点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 个单位长度，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式．

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C.

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（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线 $\text{[math]}$ 于点D，设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长；

②连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积最大时点P的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与 $\text{[math]}$ 交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C ．连接AC ， BC ，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m ．

（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC ，垂足为点N ，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）若抛物线上有且仅有三个点M₁、M₂、M₃ ，使得△M₁BC、△M₂BC、△M₃BC的面积均为定值S ，求出满足条件的定值S ．

如图，抛物线y＝a（x＋2）（x﹣5）（a＜0）交x轴于A、B两点（A左B右），且5OA＝2OC ．

（1）求抛物线的解析式；
（2） P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D ，设点P的横坐标为m ， △PCD的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接BC交PA于点E ，交BC于点F ，若PE＝PF ，求P点坐标．

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．

（1）求该抛物线的表达式：
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与该抛物线的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（3）设动点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求 $\text{[math]}$ 的最大面积及此时点E的坐标．

在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q是线段AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

如图，将矩形 $\text{[math]}$ 置放在平面直角坐标系中，顶点O与坐标原点重合，点A和点C的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A和B，且 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点B开始沿边 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时点Q由点C开始沿边 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒. $\text{[math]}$ 的面积为S.
①写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出R点的坐标；若不存在，请说明理由.

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