二次函数-动态几何问题知识点题库

如图，已知二次函数L₁：y=ax²-2ax+a+3（a＞0）和二次函数L₂：y=-a（x+1）²+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．

（1）函数y=ax²-2ax+a+3（a＞0）的最小值为　，当二次函数L₁ ， L₂的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是
（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．
（3）若二次函数L₂的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程-a（x+1）²+1=0的解．

如图，已知抛物线y=- $\text{[math]}$ +bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）.

（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

如图，抛物线y=﹣x²+12x﹣30的顶点为A，对称轴AB与x轴交于点B．在x上方的抛物线上有C、D两点，它们关于AB对称，并且C点在对称轴的左侧，CB⊥DB．

（1）求出此抛物线的对称轴和顶点A的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找出点Q，使它到A、C两点的距离相等，并求出点Q的坐标；
（3）延长DB交抛物线于点E，在抛物线上是否存在点P，使得△DEP的面积等于△DEC的面积？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为 $\text{[math]}$ ，顶点坐标为 $\text{[math]}$ ．

如图，直线y=﹣ $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和 $\text{[math]}$ 个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．

（1）求点A，点B的坐标；
（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；
（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．
（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线c₁：y=ax²﹣4a+4（a＜0）经过第一象限内的定点P

（1）直接写出点P的坐标；
（2）若a=﹣1，如图1，点M的坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线c₁上的点，Q为线段MN的中点，设点N在抛物线c₁上运动时，Q的运动轨迹为抛物线c₂ ，求抛物线c₂的解析式；
（3）直线y=2x+b与抛物线c₁相交于A、B两点，如图2，直线PA、PB与x轴分别交于D、C两代女．当PD=PC时，求a的值．

如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB= $\text{[math]}$ ，以O为坐标原点，OC为 $\text{[math]}$ 轴，OA为 $\text{[math]}$ 轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒。

（1）求直线AC的解析式；
（2）用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示点D的坐标；
（3）当 $\text{[math]}$ 为何值时，△ODE为直角三角形？
（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于 $\text{[math]}$ 轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式.

若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ .

（1）求二次函数表达式；
（2）若点 $\text{[math]}$ 为抛物线上第一象限内的点，且 $\text{[math]}$ ,求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（3）在抛物线上（ $\text{[math]}$ 下方）是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离；若不存在，请说明理由.

二次函数y＝a（x﹣h）²+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线y_m ，我们称y_m叫做二次函数y＝a（x﹣h）²+k（a≠0）的m阶变换．

（1）已知：二次函数y＝2（x+2）²+1，它的顶点关于原点的对称点为，这个抛物线的2阶变换的表达式为．
（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y₆′＝（x﹣1）²+5．
①二次函数M的函数表达式为（）．

②若二次函数M的顶点为点A ，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B ，在抛物线y₆′＝（x﹣1）²+5上是否存在点P ，使点P与直线AB的距离最短，若存在，求出此时点P的坐标．
（3）抛物线y＝﹣3x²﹣6x+1的顶点为点A ，与y轴交于点B ，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直按写出m的值．

抛物线y＝ax²+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C.点D（x_D ， y_D）为抛物线上一个动点，其中1＜x_D＜3.连接AC，BC，DB，DC.

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线

与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2） P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3） D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为 $\text{[math]}$ .平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）.

（1）点A的坐标是，点C的坐标是；
（2）在 $\text{[math]}$ 中，当t多少秒时， $\text{[math]}$ ；
（3）设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式.

已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（0,2）。

（1）若点（- $\text{[math]}$ ，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若点A为抛物线顶点，且抛物线过点（1,1）。
①求抛物线的解析式；

②若点M是抛物线上异于点A的一个动点，点P与点O关于点A对称，直线MP交抛物线与另一个点N，点N’是抛物线上点N关于对称轴的对称点，直线PN’与抛物线交于点E，求证：直线EN恒过点O。

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像交x轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交y轴于点 $\text{[math]}$ ，在y轴上有一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

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（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D在第二象限且是抛物线上的一个动点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，一次函数y=kx+2的图象分别交y轴，x轴于A，B两点，且tan∠ABO= $\text{[math]}$ ，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点．

（1）求k的值及抛物线的解析式．
（2）直线x=t在第一象限交直线AB于点M，交抛物线于点N，当t取何值时，线段MN的长有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标，并直接写出所有平行四边形的面积，判断面积是否都相等．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点C，与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一点．过点P作 $\text{[math]}$ 垂直于x轴于点D，交线段 $\text{[math]}$ 于点E，使 $\text{[math]}$ ．
①求点P的坐标；

②在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点M，使 $\text{[math]}$ 为以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

如图，二次函数y=ax²+4x+c的图象与一次函数y=x-3的图象交于A、B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点M．

（1）求a、c的值和点M的坐标；
（2）点P是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，点P的坐标为（x，n）（0< x< 3），m=PM² ，求m关于n的函数关系式，并求当n取何值时，m的值最小，最小值是多少？

如图，二次函数y=- $\text{[math]}$ x²+2x+1的图像与一次函数y=-x+1的图像交于A、B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点（与端点不重合），过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于点F．

（1）若反比例函数 y= $\text{[math]}$ 的图像正好过点 C，求k的值；
（2）求当 $\text{[math]}$ 面积最大时，点 P的坐标；
（3）如图2，将二次函数y=- $\text{[math]}$ x²+2x+1关于x轴对称得到新抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，再将 $\text{[math]}$ 沿直线 AB的方向平移得到新抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ．在 $\text{[math]}$ 平移过程中，是否存在一个合适的位置，使得 $\text{[math]}$ 是一个直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 交y轴于点A，交x轴负半轴于点B及点C(－1，0)．

（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）若点P是抛物线上一点，设点P横坐标为－m（0＜m＜5），过点P作y轴的平行线交AB于点D，设线段PD的长为d(d $\text{[math]}$ 0)，求d与m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，直线PD交x轴于点E，过点P作AB的垂线，点F为垂足，求当m为何值时，有 $\text{[math]}$ ．

如图，在半面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、B，其中点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线上 $\text{[math]}$ 上方的一个动点，过点D作 $\text{[math]}$ 轴，交 $\text{[math]}$ 于点E，过D作 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点F，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，设矩形 $\text{[math]}$ 的周长为l，求l的最大值；
（3）点P是x轴上一动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点P旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，当点Q刚好落在抛物线上时，请直接写出点Q的坐标．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与直线l交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交抛物线于点N，设点P的横坐标为m.

（1） b= ，n= ；
（2）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D，将线段MA绕点M顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段MF.当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积S与m的函数表达式.

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