二次函数-动态几何问题知识点题库

如图①，二次函数y=ax²﹣a（b﹣1）x﹣ab（其中b＜﹣1）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，1），过点C的直线交x轴于点D（2，0），交抛物线于另一点E．

（1）用b的代数式表示a，则a=；
（2）过点A作直线CD的垂线AH，垂足为点H．若点H恰好在抛物线的对称轴上，求该二次函数的表达式；
（3）如图②，在（2）的条件下，点P是x轴负半轴上的一个动点，OP=m．在点P左侧的x轴上取点F，使PF=1．过点P作PQ⊥x轴，交线段CE于点Q，延长线段PQ到点G，连接EG、DG．若tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP，试判断是否存在m的值，使△FPQ的面积和△EGQ的面积相等？若存在求出m的值，若不存在则说明理由．

如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．

（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；
（2）如图2，求证：BD∥AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．

如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P作垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是( )

A .

B .

C .

D .

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函数图象于点D，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线交y轴于点E（E在线段OA上，E不与点O重合），则称∠DPE为点D，P，E的“平横纵直角”图1为点D，P，E的“平横纵直角”的示意图.

如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象与y轴交于点F（0,m），与x轴分别交于点B（-3，0），C(12，0）.若过点F作平行于x轴的直线交抛物线于点N.

（1）点N的横坐标为；
（2）已知一直角为点N，M，K的“平横纵直角”，若在线段OC上存在不同的两点M₁、M₂ ，使相应的点K₁、K₂都与点F重合，试求m的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为点Q，连接BQ与FN交于点H，当45°≤∠QHN≤60°时，求m的取值范围。

如图，二次函数y=﹣x²+bx+c的图象经过A（1，0），B（0，﹣3）两点．

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（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C ，连接BA、BC ，求△ABC的面积．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

如图①已知抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ；二次函数的对称轴与 $\text{[math]}$ 轴的交点 $\text{[math]}$ .

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（1）抛物线的对称轴与 $\text{[math]}$ 轴的交点 $\text{[math]}$ 坐标为，点 $\text{[math]}$ 的坐标为
（2）若以 $\text{[math]}$ 为圆心的圆与 $\text{[math]}$ 轴和直线 $\text{[math]}$ 都相切，试求出抛物线的解析式：
（3）在（2）的条件下，如图② $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的正半轴上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折， $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ’，在图②中探究：是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ’恰好落在 $\text{[math]}$ 轴上？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的坐标：若不存在，请说明理由.

如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣4）.

（1）求该二次函数的解析；
（2）若点P、Q同时从A点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.
①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E，使得以A、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由.

②当P、Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请直接写出t的值及D点的坐标.

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 $\text{[math]}$ 过点B且与直线相交于另一点 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；
（3）点 $\text{[math]}$ 在x轴的正半轴上，点 $\text{[math]}$ 是y轴正半轴上的一动点，且满足 $\text{[math]}$ .
①求m与n之间的函数关系式；

②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时，P, Q两点同时停止运动.以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ ,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为 $\text{[math]}$ cm².

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（1）当 $\text{[math]}$ =s时，点P与点Q重合；
（2）当 $\text{[math]}$ 为多少时，点D在QF上；
（3）是否存在某一时刻，使得正方形APDE的面积被直线QF平分？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

如图1，已知抛物线y＝﹣x²+2x+c与x轴交于A、B两点，其中点A（﹣1，0），抛物线与y轴交于点C，顶点为D.
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（1）如图2，直线l是抛物线的对称轴，点P是直线l上一动点，是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
（2）如图3，连接BC，点M是直线BC上方的抛物线上的一个动点，当△MBC的面积最大时，求△MBC的面积的最大值；点N是线段BC上的一点，求MN+ $\text{[math]}$ BN的最小值.

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A ， C两点，抛物线y＝x²+bx+c经过A ， C两点，与x轴交于另一点B ．

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（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2） x²+bx+c≤﹣5x+5的解集是；
（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB ，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的 $\text{[math]}$ 倍，求此时点M的坐标．

如图 $\text{[math]}$ ，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象的顶点为 $\text{[math]}$ 点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 点在原点的左侧， $\text{[math]}$ 点的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求这个二次函数的表达式.
（2）经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的直线，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，在该抛物线上是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是该抛物线上一点，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上一动点，当点 $\text{[math]}$ 运动到什么位置时， $\text{[math]}$ 的面积最大?求出此时 $\text{[math]}$ 点的坐标和 $\text{[math]}$ 的最大面积.

如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ，对称轴与x轴交于点D ，若点P为y轴上的一个动点，连接PD ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

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（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点 $\text{[math]}$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式（并求出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称的射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时，求 $\text{[math]}$ 的长．

抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线 $\text{[math]}$ 经过B，C两点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点， $\text{[math]}$ 轴交BC于D点，过点D作 $\text{[math]}$ 于E点.设 $\text{[math]}$ ，求m的最大值及此时P点坐标；
（3）如图2，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且 $\text{[math]}$ ，求N点坐标.

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+bx的顶点为A，与x轴交于O、B两点，且点B的横坐标为4，连接OA、AB，直线y= $\text{[math]}$ x交AB；于点C、P为线段OC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，以PQ为边向其右侧作矩形PQDE，且QD=1，设点p的横坐标为m。

（1）求抛物线的解析式；
（2）分别求点A、C的坐标；
（3）设矩形PQDE的周长为L，求L与m之间的函数关系式；
（4）当矩形PQDE与△OAB重叠部分图形为轴对称图形时，直接写出m的取值范围。

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．

（1）求抛物线的函数关系式．
（2）设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．

综合与探究

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，C，过点A作 $\text{[math]}$ 轴与抛物线交于另一点D．

（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 上一个动点，由点A以每秒1个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 运动（不与点B重合），运动时间为t，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点Q，求 $\text{[math]}$ 与t的函数关系式；
（3）点M是y轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）的顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的右侧）．
①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
②设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间抛物线上的一个动点（含端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，若线段 $\text{[math]}$ 长的最大值为5，求 $\text{[math]}$ 的值．

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