题目

如图①已知抛物线 的图象与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧），与 的正半轴交于点 ，连结 ；二次函数的对称轴与 轴的交点 . （1） 抛物线的对称轴与 轴的交点 坐标为，点 的坐标为 （2） 若以 为圆心的圆与 轴和直线 都相切，试求出抛物线的解析式： （3） 在（2）的条件下，如图② 是 的正半轴上一点，过点 作 轴的平行线，与直线 交于点 与抛物线交于点 ，连结 ，将 沿 翻折， 的对应点为 ’，在图②中探究：是否存在点 ，使得 ’恰好落在 轴上？若存在，请求出 的坐标：若不存在，请说明理由. 答案： 【1】（1.5,0）、（-1,0） 解：如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC， ∵DE=OE= 32 ，EB= 52 ，OC=﹣4a， ∴DB= EB2−DE2=2.52−1.52=2 ， ∵tan∠OBC= DEBD=OCOB ， ∴ 1.52=−4a3 ，解得a= −34 ， ∴抛物线解析式为y= −34x2+94x+3 . 解：如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB， ∵MN∥OM′， ∴∠M′CN=∠CNM， ∴MN=CM， ∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）， ∴ 直线BC解析式为y=﹣ 34 x+3，BC=5， ∴M（m，﹣ 34 m+3），N（m，﹣ 34 m2+ 94 m+3），作MF⊥OC于F， ∵sin∠BCO= FMMC=BOBC ， ∴ mCM=45 ， ∴CM= 54 m， ①当N在直线BC上方时，﹣ 34 x2+ 94 x+3﹣（﹣ 34 x+3）= 54 m， 解得：m= 73 或0（舍弃）， ∴Q1（ 73 ，0）. ②当N在直线BC下方时，（﹣ 34 m+3）﹣（﹣ 34 m2+ 94 m+3）= 54 m， 解得m= 173 或0（舍弃）， ∴Q2（ 173 ，0）， 综上所述：点Q坐标为（ 73 ，0）或（ 173 ，0）.

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