4.1 二项分布知识点题库

如图，用A，B，C，D四类不同的元件连接成系统（A，B，C，D是否正常工作是相互独立的），当元件A，B至少有一个正常工作，且C，D至少有一个正常的工作时，系统正常工作．已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，0.70，则系统正常工作的概率为（）

A . 0.9994 B . 0.9506 C . 0.4536 D . 0.5464

某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，他连续射击4次，有各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：

①第二次击中目标的概率是0.8；

②恰好击中目标三次的概率是0.8³×0.2；

③至少击中目标一次的概率是1﹣0.2⁴；

其中正确的结论的序号是（写出所有正确结论的序号）

一批产品，有4件次品，6件正品，每次抽一件测试，直到4件次品都找到为止，假定抽查不放回，求下列事件的概率

（A）在第5次测试后停止；

（B）在第10次测试后停止．

2017年12月11日广州国际马拉松赛后，某机构用“10分制”调查了各阶层人士对此项赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数 $\text{[math]}$ 以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶 $\text{[math]}$ ：

（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若满意度不低于 $\text{[math]}$ 分，则称该被调查者的满意度为“极满意” $\text{[math]}$ 求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体 $\text{[math]}$ 人数很多 $\text{[math]}$ 任选3人，记 $\text{[math]}$ 表示抽到“极满意”的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望．

一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且每题答对与否相互独立．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求考生填空题得满分的概率；
（2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求 $\text{[math]}$ 的值．

某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.

（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.

某厂生产的某种零件的尺寸 $\text{[math]}$ 大致服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且规定尺寸 $\text{[math]}$ 为次品，其余的为正品．生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元．现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下：

图片_x0020_1906665922

（1）估计生产线生产的零件的次品率及零件的平均尺寸；
（2）从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润及不亏损的概率．

为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下：

每分钟跳绳个数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	185以上
得分	16	17	18	19	20

年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图：

图片_x0020_1189601391

（1）现从这100名学生中，任意抽取2人，求两人得分之和小于35分的概率（结果用最简分数表示）；
（2）若该校高二年级2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题：
①估计每分钟跳绳164个以上的人数（四舍五入到整数）

②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望与方差．

（若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 $\text{[math]}$ “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 $\text{[math]}$ “抽取的两个小球标号之积大于8”，则（）

A . 事件A发生的概率为 $\text{[math]}$ B . 事件 $\text{[math]}$ 发生的概率为 $\text{[math]}$ C . 事件 $\text{[math]}$ 发生的概率为 $\text{[math]}$ D . 从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为 $\text{[math]}$

在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

潜伏期

（单位：天）

$\text{[math]}$

人数

205

310

250

130

（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

	潜伏期≤6天	潜伏期＞6天	总计
50岁以上（含50岁）			100
50岁以下	55
总计			200

（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的期望是多少？
附：

$\text{[math]}$

0.05

0.025

0.010

$\text{[math]}$

3.841

5.024

6.635

$\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ .

某单位举行建党100周年党史知识竞赛，在必答题环节共设置了5道题，每道题答对得20分，答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某选手每道题答对的概率均为 $\text{[math]}$ ，其必答环节的总得分为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 该选手恰好答对2道题的概率为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为 $\text{[math]}$ ，统计得到以下 $\text{[math]}$ 列联表，经过计算可得 $\text{[math]}$ .

	男生	女生	合计
了解	$\text{[math]}$
不了解		$\text{[math]}$
合计	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

附： $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
（2） ①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取 $\text{[math]}$ 人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的数学期望.
附表：
$\text{[math]}$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$\text{[math]}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来，在经济快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碎式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.

月份	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月	合计
空气质量优良天数	24	18	11	27	23	21	26	29	27	29	23	30	288
空气质量污染天数	7	10	20	3	8	9	5	2	3	2	7	1	77

（1）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；
（2）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中质量优良的天数，求X的分布列；
（3）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为 $\text{[math]}$ ，空气质量污染天数的方差为 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系.（结论不要求证明）

某花店每天以每枝8元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝18元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花回收给农场，每枝可换取3元.花店记录了100天玫瑰花的日销量（单位：枝），整理得下表.

日销量（枝）	14	15	16	17	18	19	20
频数	20	20	10	15	12	11	12

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天销量n（单位：枝， $\text{[math]}$ ）的函数解析式；
（2）根据所列表格数据，以100天记录的日销量的频率作为概率
①若花店两天的销量互不影响，求两天一共售出30枝玫瑰花的概率；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，以两种情况的利润的期望值作为依据，你认为应购进16枝还是17枝？

在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，金陵中学高二某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学们的一致好评．设随机变量 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 1，2，…，n．在研究 $\text{[math]}$ 的最大值时，该小组同学发现：若 $\text{[math]}$ 为正整数，则 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，此时这两项概率均为最大值；若 $\text{[math]}$ 为非整数，当k取 $\text{[math]}$ 的整数部分，则 $\text{[math]}$ 是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为的概率最大．

已知甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制，即两人中先胜三局的人赢得这场比赛，比赛结束．已知第一局比赛甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，且每一局的胜者，在接下来一局获胜的概率为 $\text{[math]}$ ．

（1）求两人打完三局恰好结束比赛的概率；
（2）设比赛结束时总的比赛局数为随机变量X，求X的数学期望 $\text{[math]}$ ．

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 互斥，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相互独立，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .