27.2 相似三角形知识点题库

如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA₁ ，边OA₁与AB交于点O₁ ，以O₁B为边作等边△O₁BA₂ ，边O₁A₂与A₁B交于点O₂ ，以O₂B为边作等边△O₂BA₃ ，边O₂A₃与A₂B交于点O₃ ， …，依此规律继续作等边△O_n_﹣₁BA_n ，则 $\text{[math]}$ 的横坐标.

（1）问题提出
如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝°.
（2）类比探究
如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）拓展延伸
如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN.添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由.

如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D ， E分别是AB ， BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F ．

图片_x0020_100020

（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H ，求CH的长．

如图，正方形ABCD中，M为BC上一点， $\text{[math]}$ ，ME交AD的延长线于点E.

图片_x0020_100014

（1）求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求DE的长.

如图，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=4，BO=6。

（1）求BC，AC的长。
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE。

①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长。

②设DE交直线BC于点F，连结OF，CD，若S_△OBF：S_△OCF=1：4，则CD的长为多少？(直接写出结果)

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P从点B出发沿 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时，点Q从点C出发以每秒1个单位的速度向终点B运动，运动时间为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

图片_x0020_100019

（1）求 $\text{[math]}$ 的长（用含有t的代数式表示）；
（2）当点P在 $\text{[math]}$ 上运动时，过点P作 $\text{[math]}$ 于点H，求 $\text{[math]}$ 的长（用含有t的代数式表示）；
（3）当点P运动到 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ 的面积为12时，求t的值．
（4）直接写出运动过程中以 $\text{[math]}$ 为一边的三角形与 $\text{[math]}$ 相似时t的值．

如图，已知小屋的高 $\text{[math]}$ ，小屋窗户的最低点G距离地面 $\text{[math]}$ ，某一时刻， $\text{[math]}$ 在阳光下的影长 $\text{[math]}$ ，在点A的正西方向 $\text{[math]}$ 处选择点C，在此处拟建高为 $\text{[math]}$ 的楼房 $\text{[math]}$ .（设点C、A、F在同一水平线上）

图片_x0020_100027

（1）按比例较准确地画出楼房 $\text{[math]}$ 及同一时刻它的影长；
（2）若楼房 $\text{[math]}$ 建成后，请判断是否影响小屋的采光，并说明理由.

如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高线，DE是Rt△ADC斜边AC上的高线，如果DC：AD=1：2，S_△CDB=a，那么S_△ABC等于（）．

A . 4a B . 9a C . 16a D . 25a

如图， $\text{[math]}$ 为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与半圆O相切于点B．点P为 $\text{[math]}$ 上一动点（不与点A，M重合），直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ 于点E，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，则下列结论正确的个数有（）

图片_x0020_100018

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ 为定值

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

如图，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

图片_x0020_9

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
（2）求证： $\text{[math]}$ ；
（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.

已知在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，以线段 $\text{[math]}$ 为直径作圆，圆心为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求证：直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
（2）点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上任意一动点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ：
①当 $\text{[math]}$ 时，求所有 $\text{[math]}$ 点的坐标（直接写出）；

②求 $\text{[math]}$ 的最大值.

观察发现，如图1、图2，已知在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 固定， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转.

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是；其中 $\text{[math]}$ 的最大值为.
（2）如图2，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，说明理由，并求出 $\text{[math]}$ 的最大值.
（3）如图3，已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直角边向外作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的最大值.

如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为25，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 25 B . 9 C . 21 D . 16

在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”

（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是；
（2）如图1，在边长为6的等边三角形 $\text{[math]}$ 中，点D在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ，点E、F分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上，满足 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为“共边全等”，求 $\text{[math]}$ 的长；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 、x轴相交于A、B两点，点C是 $\text{[math]}$ 的中点，P、Q在 $\text{[math]}$ 的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ “共边全等”时，请直接写出点Q的坐标.

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E是CD边上一点，连结AE ，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G ，连结DG ．点M、N分别是线段AG ， DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM ，以下结论：①CE＝2；②DM²＝DN•AF；③DN最小值为1；④若△DMN为等腰三角形，则点M的位置有三种不同情况．其中正确的是．