题目

如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （1） 求证： 平面 ； （2） 求直线 与平面 所成角的正正弦值． （3） 求二面角 的正弦值． 答案： 以 A 为原点， AB，AD，AA1 分别为 x，y，z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则 A(0，0，0) ， A1(0，0，2) ， B(2，0，0) ， C(2，2，0) ， D(0，2，0) ， C1(2，2，2) ， D1(0，2，2) ， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 E(2，1，0) ， F(1，2，0) ， 所以 D1F→=(1，0，−2) ， A1C1→=(2，2，0) ， A1E→=(2，1，−2) ， 设平面 A1EC1 的一个法向量为 m→=(x1，y1，z1) ， 则 {m→⋅A1C1→=2x1+2y1=0m→⋅A1E→=2x1+y1−2z1=0 ，令 x1=2 ，则 m→=(2，−2，1) ， 因为 D1F→⋅m→=2−2=0 ，所以 D1F→⊥m→ ， 因为 D1F⊄ 平面 A1EC1 ，所以 D1F// 平面 A1EC1 ； 由（1）得， AC1→=(2，2，2) ， 设直线 AC1 与平面 A1EC1 所成角为 θ ， 则 sinθ=|cos〈m→，AC1→〉|=|m→⋅AC1→|m→|⋅|AC1→||=23×23=39 ； 由正方体的特征可得，平面 AA1C1 的一个法向量为 DB→=(2，−2，0) ， 则 cos〈DB→，m→〉=DB→⋅m→|DB→|⋅|m→|=83×22=223 ， 所以二面角 A−A1C1−E 的正弦值为 1−cos2〈DB→，m→〉=13 .

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