题目

已知函数 对任意实数 ， 恒有 ，且当 ， ，又 . （1） 判断 的奇偶性； （2） 求 在区间 上的最大值； （3） 是否存在实数 ，使得不等式 对一切 都成立？若存在求出 ；若不存在，请说明理由. 答案： 解：依题意，函数 f(x) 对任意实数 x ， y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) . 令 x=y=0 ，得 f(0)=f(0)+f(0) ，解得 f(0)=0 . 令 y=−x ，得 f(x−x)=f(x)+f(−x) ，即 f(x)+f(−x)=0 ，故函数 f(x) 为奇函数. 解：任取 x1<x2,x2−x1>0,f(x2−x1)<0 ，即 f(x2−x1)=f(x2)+f(−x1)=f(x2)−f(x1)<0 ，即 f(x2)<f(x1) ，所以 f(x) 在 R 上递减.所以 f(x) 在区间 [−3,3] 上的最大值为 f(−3)=−f(3)=−[f(2)+f(1)]=−[f(1)+f(1)+f(1)]=−3f(1)=6 解：由（1）（2）知 f(x) 是在 R 上递减的奇函数，故由 f(x−m)+f(x2−m2)≤0 得 f(x2−m2)≤−f(x−m)=f(m−x) ，即 x2−m2≥m−x ，即 x2+x−m2−m≥0 ，对对一切 x∈R 都成立，所以 Δ=1−4(−m2−m)≤0 ，即 4m2+4m+1=(2m+1)2≤0 ，解得 m=−12 .

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