题目

已知函数 . （Ⅰ）求 的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值. 答案：解：（Ⅰ） f(x)=12−12cos2x+32sin2x=sin(2x−π6)+12 . 所以 f(x) 的最小正周期为 T=2π2=π . 因为 y=sinx 的单调递减区间为 [π2+2kπ,3π2+2kπ] ， k∈Z 所以令 π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ ， k∈Z 解得 π3+kπ≤x≤5π6+kπ ， k∈Z 因此 f(x) 的单调递减区间为 [π3+kπ,5π6+kπ] ， k∈Z （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)=sin(2x−π6)+12 . 由题意知 −π3≤x≤m .所以 −5π6≤2x−π6≤2m−π6 . 要使得 f(x) 在 [−π3,m] 上的最大值为 32 ，即 sin(2x−π6) 在 [−π3,m] 上的最大值为 1 . 所以 2m−π6≥π2 ，即 m≥π3 . 所以 m 的最小值为 π3 .

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