题目

已知函数 ， . （1） 讨论函数 的单调性； （2） 当 时，证明 ． 答案： 解：函数 f(x) 的定义域为 (0，+∞) ，且 f′(x)=1x−ax2=x−ax2 .当 a≤0 时， f′(x)>0 ， f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增；当 a>0 时，若 x>a 时，则 f′(x)>0 ，函数 f(x) 在 (a，+∞) 上单调递增；若 0<x<a 时，则 f′(x)<0 ，函数 f(x) 在 (0，a) 上单调递减. 解：由（1）知，当 a>0 时， f(x)min=f(a)=lna+1 .要证 f(x)≥2a−1a ，只需证 lna+1≥2a−1a ，即只需证 lna+1a−1≥0构造函数 g(a)=lna+1a−1 ，则 g′(a)=1a−1a2=a−1a2 .所以 g(a) 在 (0，1) 单调递减，在 (1，+∞) 单调递增.所以 g(a)min=g(1)=0 .所以 lna+1a−1≥0 恒成立，所以 f(x)≥2a−1a  .

查看本题答案和解析