题目

已知函数,其中. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. （2）当时，图象上任意一点处的切线的倾斜角为，且，求a的取值范围． 答案：解(1)f′(x)＝－3x2＋2ax，要使f(x)在(0,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，------------2分 ∵f′(x)是开口向下的抛物线， ∴，∴a≥3. ------------6分 (2)∵0≤θ≤，∴tanθ＝－3x2＋2ax∈[0,1]． 据题意0≤－3x2＋2ax≤1在(0,1]上恒成立，------------9分 由－3x2＋2ax≥0，得a≥x， a≥，         ------------11分 由－3x2＋2ax≤1，得a≤x＋. 又x＋≥(当且仅当x＝时取“＝”)， ∴a≤                               .------------13分 综上，a的取值范围是≤a≤.     

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