题目

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围. 答案： 解：（Ⅰ）设双曲线的方程为（）．由题设得 ，解得，所以双曲线方程为． （Ⅱ）设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得． 此方程有两个不等实根，于是，且．整理得．　③ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ，． 从而线段的垂直平分线方程为． 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，． 由题设可得． 整理得，． 将上式代入③式得，整理得，． 解得或． 所以的取值范围是．

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