独立性检验的应用知识点题库

为考察高中生的性别与喜欢数学课程之间的关系，在某学校高中生中随机抽取了250名学生，得到如图的二维条形图.

（1）根据二维条形图，完成下表：

男
女
合计
喜欢数学课程
不喜欢数学课程
合计
（2）对照如表，利用列联表的独立性检验估计，请问有多大把握认为“性别与喜欢数学有关系”？

若两个分类变量x和y的列联表为：

	y₁	y₂	合计
x₁	10	45	55
x₂	20	30	50
合计	30	75	105

则x与y之间有关系的可能性为（　　）

A . 0.1% B . 99.9% C . 97.5% D . 0.25%

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．

（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男

女

10
55
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）
P（ K²≥k）
0.05
0.01
k
3.841
6.635

若由一个2×2 列联表中的数据计算得K²的观测值k≈4.013，那么在犯错的概率不超过的前提下，认为两个变量之间有关系．

2016年10月16日，习主席在印度果阿出席金砖国家领导人第八次会议时，发表了题为《坚定信心，共谋发展》的重要讲话，引起世界各国的关注，为了了解关注程度，某机构选取“70后”和“80后”两个年龄段作为调查对象，进行了问卷调查，共调查了120名“80后”，80名“70后”，其中调查的“80后”有40名不关注，其余的全部关注；调查的“70后”有10人不关注，其余的全部关注．

参考公式： $\text{[math]}$ （n=a+b+c+d）．

附表：

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）根据以上数据完成下列2×2列联表：
关注
不关注
合计
“80后”
“70后”
合计
（2）根据2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“关注与年龄段有关”？请说明理由．

在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中,下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 的观测值为 $\text{[math]}$ ,在犯错误的概率不超过 $\text{[math]}$ 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌. B . 由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过 $\text{[math]}$ 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时,我们说某人吸烟,那么他有 $\text{[math]}$ 的可能患有肺癌. C . 若从统计量中求出在犯错误的概率不超过 $\text{[math]}$ 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有 $\text{[math]}$ 的可能性使得判断出现错误. D . 以上三种说法都不正确.

大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了100名魔方爱好者进行调查，得到的部分数据如表所示：已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢盲拧的概率为 $\text{[math]}$ ．

	喜欢盲拧	不喜欢盲拧	总计
男		10
女	20
总计			100

表（1）

并邀请这100人中的喜欢盲拧的人参加盲拧三阶魔方比赛，其完成时间的频率分布如表所示：

完成时间（分钟）	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40]
频率	0.2	0.4	0.3	0.1

表（2）

（Ⅰ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？

（Ⅱ）现从表（2）中完成时间在[30，40] 内的人中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，记完成时间在[30，40]内的甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到为事件A ，求事件A发生的概率．

（参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ）

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生		5
女生	5
合计			45

已知在全部45人中随机抽取1人，是男同学的概率为 $\text{[math]}$

附参考公式： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.15	0，10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有 $\text{[math]}$ 的把握认为喜爱打篮球与性别有关，请说明理由。

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

	满意	不满意
男顾客	40	10
女顾客	30	20

附： $\text{[math]}$ ．

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

为了判断高中三年级学生是否选择文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下 $\text{[math]}$ 列联表：

	理科	文科
男	13	10
女	7	20

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

根据表中数据，得到 $\text{[math]}$ 的观测值 $\text{[math]}$ ，则有以上把握认为选择文科与性别有关系．

2018年俄罗斯世界杯激战正酣，某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：

收看时间(单位:小时)	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
收看人数	14	30	16	28	20	12

附表及公式:

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024

$\text{[math]}$

（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”，否则定义为“非球迷”，请根据频数分布表补全 $\text{[math]}$ 列联表：

	男	女	合计
球迷	40
非球迷		30
合计

（2）并判断能否有 $\text{[math]}$ 的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关.

在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（）

A . 随机抽样 B . 散点图 C . 回归分析 D . 独立性检验

根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取 $\text{[math]}$ 名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：

得分	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
男性人数	4	9	12	13	11	6	3
女性人数	1	2	2	21	10	4	2

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

临界值表：

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.075	2.706	3.841	5.024	6.635	$\text{[math]}$	10.828

（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成 $\text{[math]}$ 列联表，并判断是否有99%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？

（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的概率分布列和数学期望.

	不太了解	比较了解	合计
男性
女性
合计

2019年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，该平台是由中共中央宣传部主管，以

新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，“学习强国"平台从2月10日起推出了同上一堂课《名著导读课》直播课堂，某学校为调研《名著导读课》的观看情况，在高二、高三两个年级中随机抽取了200名学生进行调研，其中高二学生占 $\text{[math]}$ ，其他相关数据如下表：

观看《名著导读课》	超过5节	不超过5节	合计
高二年级	90
高三年级		45
合计			200

（1）请补填表中的空缺数据，并根据表中数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“观看节数是否超过5节”与“学生所在年级”有关；
（2）以频率估计概率，若在该校高二学生中随机抽取4名学生做学习经验介绍，记观看《名著导读课》节数超过5节的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
附： $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

0.100

0.050

0.010

0.001

$\text{[math]}$

2.706

3.841

6.635

10.828

晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，河北衡水某高中的高三年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类高中的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息．有关人员分别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中衡水某高中有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，则（）

附： $\text{[math]}$ ，

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.005	0.001
k₀	3.841	6.635	7.879	10.828

A . 衡水某高中的前50名学生中有60%的学生学习效率高 B . 另一所同类高中的前50名学生中有40%的学生学习效率高 C . 有99.9%的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关” D . 认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”的犯错概率超过0.05

2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占 $\text{[math]}$ ．

（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？

	赞成种植	不赞成种植	合计
45岁及以下
45岁以上
合计

（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．

附表：

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式为： $\text{[math]}$

随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播＋电商的模式正在全球范围内掀起热潮．目前，国际上Amazon、Rakuten等电商平台和以Facebook为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家．根据中研产业研究院《2020-2025年中国直播电商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告》显示，2020年上半年，“直播经济”业态主要岗位的人才达到2019年同期的2.4倍；2020年“6·18”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．

（1）请完成关于商品和服务评价的 $\text{[math]}$ 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	80
对商品不满意		10
合计			200

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X ，求对商品和服务全为好评的次数X的分布列和数学期望．

附临界值表：

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$\text{[math]}$ 的观测值： $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）

为了解成都市某区居民对接种新冠疫苗的态度，某机构日前通过社交媒体，进行了问卷调查，结果显示，多达73.4%的该区受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了该区1000人进行调查，得到统计数据如下：

	无疲乏症状	有疲乏症状	总计
未接种疫苗	500	100	600
接种疫苗	x	y	n
总计	800	m	1000

（1）求 $\text{[math]}$ 列联表中的数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，并确定能否有99%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.
（2）从接种疫苗的 $\text{[math]}$ 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，再从4人中随机抽取2人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的2人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，求得分结果总和为11的概率.
附: $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

P（K²≥k₀）

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

k₀

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

某小区准备在小区广场安装运动器材，为了解男女业主对安装运动器材的意愿情况，随即对该小区100名业主做了调查，得到如下2×2列联表：

	愿意	不愿意	合计
男业主	30	15	45
女业主	45	10	55
合计	75	25	100

（Ⅰ）判断能否有95%的把握认为“是否愿意安装运动器材与业主性别有关”；

（Ⅱ）从不愿意安装运动器材的业主中按性别用分层抽样的方法抽取5人，了解不愿意安装运动器材的原因，再从这5人中选2人参观其他小区的运动场所，求这2人中恰好有1人为女业主的概率.

参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

参考数据：

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

中国探月工程自2004年批准立项以来，聚焦“自主创新､重点跨越､支撑发展､引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879

（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有关？

关注

没关注

合计

男生

女生

合计
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三女生中随机抽取2人.记被抽取的2名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.

P（ K²≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

	关注	不关注	合计
“80后”
“70后”
合计

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