三角函数模型的简单应用知识点题库

如图所示，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=．

如图，一条直角走廊宽为1.5m，一转动灵活的平板手推车，其平板面为矩形，宽为1m．问：要想顺利通过直角走廊，平板手推车的长度不能超过米．

如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin( $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ )+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

A . 5 B . 6 C . 8 D . 10

如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin( $\text{[math]}$ x＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 .

已知线段AB的长为4，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，其中AB∥CD（如图）则这个梯形的周长的最大值为（　　）

A . 8 B . 10 C . 4( $\text{[math]}$ +1) D . 以上都不对

如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P₀（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），当秒针从P₀ （注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　）

A . y=sin（ $\text{[math]}$ ） B . y=sin（﹣ $\text{[math]}$ ） C . y=sin（﹣ $\text{[math]}$ ） D . y=sin（﹣ $\text{[math]}$ ）

某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：

t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0

经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（　　）

A . 17 B . 16 C . 5 D . 4

以长为10的线段AB为直径作半圆，则它内接矩形面积的最大值为（　　）

A . 10 B . 15 C . 25 D . 50

如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p₀）开始计算时间．

（1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？

一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ= $\text{[math]}$ ，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．

如图，点A，B是单位圆O上的两点，A，B点分别在第一，而象限，点C是圆O与x轴正半轴的交点，若∠COA=60°，∠AOB=α，点B的坐标为（﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

（1）求sinα的值；
（2）已知动点P沿圆弧从C点到A点匀速运动需要2秒钟，求动点P从A点开始逆时针方向作圆周运动时，点P的纵坐标y关于时间t（秒）的函数关系式．

如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为 $\text{[math]}$ ，半径OA为1km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD∥AO，设∠AOC=θ，

（1）用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围．
（2）当θ为何值时，观光道路最长？

如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： $\text{[math]}$ ，则中午 12 点时最接近的温度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，某机械厂欲从 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形 $\text{[math]}$ 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ （单位：平方米）.

（1）求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式，求出定义域；
（2）当 $\text{[math]}$ 的长为何值时，裁剪出的四边形 $\text{[math]}$ 的面积最小，并求出最小值.

如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶 $\text{[math]}$ 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m.

如图为某儿童游乐场一个小型摩天轮示意图，该摩天轮近似看作半径为 $\text{[math]}$ 的圆，圆上最低点A与地面距离为 $\text{[math]}$ ，摩天轮每60秒匀速转动一圈，摩天轮上某点B的起始位置在最低点A处.图中 $\text{[math]}$ 与地面垂直，以 $\text{[math]}$ 为始边，逆时针转动 $\text{[math]}$ 角到 $\text{[math]}$ ，设B点与地面间的距离为 $\text{[math]}$ .

（1）求h与 $\text{[math]}$ 间关系的函数解析式；
（2）设从 $\text{[math]}$ 开始转动，经过t秒后到达 $\text{[math]}$ ，求h与t之间的函数关系式；
（3）如果离地面高度不低于 $\text{[math]}$ 才能获得最佳观景效果，在摩天轮转动的一圈内，有多长时间B点在最佳观景效果高度？

泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔．某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点 $\text{[math]}$ 处测得塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，在塔底 $\text{[math]}$ 处测得 $\text{[math]}$ 处的俯角为 $\text{[math]}$ ．已知山岭高 $\text{[math]}$ 为256米，则塔高 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

已知函数 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 9 B . 8 C . 7 D . 5

在平面直角坐标系xOy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角 $\text{[math]}$ ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的 $\text{[math]}$ 倍得到 $\text{[math]}$ ，我们把这个过程称为对点P进行一次 $\text{[math]}$ 变换得到点 $\text{[math]}$ ，例如对点 $\text{[math]}$ 进行一次 $\text{[math]}$ 变换得到点 $\text{[math]}$ ．若对点 $\text{[math]}$ 进行一次 $\text{[math]}$ 变换得到点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的坐标为；若对点 $\text{[math]}$ 进行一次 $\text{[math]}$ 变换得到点 $\text{[math]}$ ，对点 $\text{[math]}$ 再进行一次 $\text{[math]}$ 变换得到点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的坐标为．

“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间 $\text{[math]}$ （单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：

t（小时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.1

该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．

（1）试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．

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