题目

如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为 ，半径OA为1km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD∥AO，设∠AOC=θ， （1） 用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围． （2） 当θ为何值时，观光道路最长？ 答案： 解：在△COD中，由正弦定理得 CDsin∠COD=ODsin∠DCO=COsin∠CDO ，又CD∥AO，CO=1，∠AOC=θ，所以 CD=cosθ+13sinθ，OD=23sinθ因为OD＜OB，所以 sinθ<32 ，所以 0<θ<π3 ，所以CD=cosθ+13sinθ ，θ的取值范围为 (0，π3) 设道路长度L（θ），则 L(θ)=cosθ−13sinθ+θ+1，θ∈(0，π3) ， L/(θ)=−sinθ−33cosθ+1由L′（θ）=0得 sin(θ+π6)=32 ，又 θ∈(0，π3) ，所以 θ=π6易得θ∈（0， π6 ），L′（θ）＞0，θ∈（ π6 ， π3 ），L′（θ）＜0，∴ θ=π6 时，L（θ）取到最大值，即θ= π6 时，观光道路最长．

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