用空间向量求直线与平面的夹角知识点题库

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= $\text{[math]}$ ， AF=1，M是线段EF的中点．

（1）求证AM∥平面BDE；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点．

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（1）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
（2）是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，请指出点 $\text{[math]}$ 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

如图①：在平行四边形 $\text{[math]}$ 中, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,将 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折起,使 $\text{[math]}$ ,连结 $\text{[math]}$ ,得到如图②所示三棱锥 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ,二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的正切值为 $\text{[math]}$ ,求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；如图，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 边折起，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，求证：

（1）平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若F为棱 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

如图，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为.

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如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

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（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ？请证明你的结论；
（3）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；

如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁和BCC₁B₁均为正方形，且所在平面互相垂直．

（Ⅰ）求证：BC₁⊥AB₁；

（Ⅱ）求直线BC₁与平面AB₁C₁所成角的大小．

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如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，在平面 $\text{[math]}$ 内找一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 的距离．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并说明理由；
（2）当二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角．

如图，已知三棱台 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形， $\text{[math]}$ ，O为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝ $\text{[math]}$ DC，F为PC的中点.

（1）求证：BF∥平面PAD；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值.

所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥 $\text{[math]}$ 中，AM是PC的中点，且 $\text{[math]}$ ，底面边长 $\text{[math]}$ ，则正三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为；AM与底面ABC所成角的正弦值为．

如图，四棱台中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

如图所示，直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值

C . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的最大值为 $\text{[math]}$

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

（I）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值。

条件①： $\text{[math]}$ ；

条件②： $\text{[math]}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是等腰梯形， $\text{[math]}$ ， E是棱 $\text{[math]}$ 的中点，F是棱 $\text{[math]}$ 上的点，且A，D，E，F四点共面．

（1）求证：F为 $\text{[math]}$ 的中点；
（2）若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面 C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为垂足.

（1）当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上移动时，判断 $\text{[math]}$ 是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为30°，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

如图所示，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
（3）若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

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