题目

如图，在三棱锥 中， 平面 ，底面 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， 是线段 上一点． （1） 若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． （2） 是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请指出点 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 答案： 解：不妨设 AB=2 ，在平面 BCD 中作 BF⊥BD ，以 BF ， BD ， BA 所在的直线为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 B−xyz ，则 B(0,0,0) ， A(0,0,2) ， D(0,2,0) ， C(1,1,0) ． 因为点 E 是 AC 的中点， 所以点 E 的坐标为 (12,12,1) ． 所以 CA→=(−1,−1,2) ， BE→=(12,12,1) ， BD→=(0,2,0) ． 设 p→=(x,y,z) 是平面 BDE 的法向量，则 {p→·BE⇀=0,p→·BD⇀=0, 即 {12x+12y+z=0,2y=0. 取 x=2 ，则 z=−1 ，所以平面 BDE 的一个法向量为 p→=(2,0,−1) ． 所以 cos(CA→,p→)=CA→gp→|CA→||p→|= −1×2+2×(−1)(−1)2+(−1)2+22·22+(−1)2=−21530 ， 所以直线 CA 与平面 BDE 所成的角的正弦值为 21530 ． 解：假设存在点 E 使得平面 BDE⊥ 平面 ADC ，设 AE→=λ⋅EC→ ． 显然 CD→=(−1,1,0) ， CA→=(−1,−1,2) ． 设 m→=(x1,y1,z1) 是平面 ACD 的法向量，则 {m→·CD⇀=0,m→·CA⇀=0, 即 {−x1+y1=0,−x1−y1+2z1=0. 取 x1=1 ，则 y1=1 ， z1=1 ，所以平面 ACD 的一个法向量为 m→=(1,1,1) ． 因为 AE→=λ⋅EC→ ，所以点 E 的坐标为 (λλ+1,λλ+1,2λ+1) ． 所以 BE→=(λλ+1,λλ+1,2λ+1) ， BD→=(0,2,0) ． 设 n→=(x2,y2,z2) 是平面 BDE 的法向量，则 {n→·BE⇀=0,n→·BD⇀=0, 即 {λλ+1x2+λλ+1y2+2λ+1z2=0,2y2=0. 取 x2=1 ，则 z2=−λ2 ，所以平面 BDE 的一个法向量为 n→=(1,0,−λ2) ． 因为平面 BDE⊥ 平面 ADC ，所以 m→⊥n→ ，即 m→⋅n→=0 ， 1−λ2=0 ，解得 λ=2 ． 所以 λ 的值为2，即当 |AE→||EC→|=2 时，平面 BDE⊥ 平面 ADC ．

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