题目

如图所示，在三棱柱中， ， ， ， 平面平面 ， 点是线段的中点. （1） 求证：平面； （2） 求直线与平面所成角的正弦值. （3） 若点在线段上，且平面 ， 求点到平面的距离. 答案： 证明：取线段EF的中点P，连结PG，因为平面ABCD⊥平面ADEF，ED⊥AD，所以ED⊥平面ABCD，所以PG⊥平面ABCD，因为AD=DC=2，∠ADC=60°，所以△ADC是正三角形，又点G是线段AD的中点，所以CG⊥AD.可以建立以G为原点，分别以GC→，GD→，GP→的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得A(0，−1，0)，B(3，−2，0)，C(3，0，0)，D(0，1，0)，E(0，1，1)，F(0，−1，1)，G(0，0，0)，P(0，0，1)，证明：GC→=(3，0，0)，GE→=(0，1，1)，设n1→=(x，y，z)为平面GCE的法向量，则{n1⇀⋅GC⇀=0n1⇀⋅GE⇀=0，即{3x=0y+z=0，不妨令y=1，可得n1→=(0，1，−1)，又FG→=(0，1，−1)，故FG→∥n1→，因此FG⊥平面GCE. 解：依意，BG→=(−3，2，0)，由（I）知n1→=(0，1，−1)为平面GCE的法向量.因此cos(n1→，BG→)=n1→⋅BG→|n1→||BG→|=147，所以直线BG与平面GCE所成角的正弦值为147. 解：依题意，设BM→=λBE→(λ∈[0，1])，M(x，y，z)，所以(x−3，y+2，z)=λ(−3，3，1)，因此M(3−3λ，−2+3λ，λ)GM→=(3−3λ，−2+3λ，λ)，GC→=(3，0，0)，设n2→=(x，y，z)为平面GMC的法向量，则{n2⇀⋅GM⇀=0n2⇀⋅GC⇀=0，即{(3−3λ)x+(−2+3λ)y+λz=03x=0，不妨令y=1，可得n2→=(0，1，2−3λλ)，AF→=(0，0，1)，因为AF∥平面GMC，所以AF→⋅n2→=0，解得λ=23，所以M(33，0，23)，设点M到平面GCE的距离为d，GM→=(33，0，23)，则d=|GM→⋅n1→|n1→||=23，所以点M到平面GCE的距离为23.

查看本题答案和解析