题目

如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝ DC，F为PC的中点. （1）求证：BF∥平面PAD；（2）求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值. 答案：证明：证明：如图所示，取 PD 的中点 G ，连接 GF ， AG ． ∵F 为 PC 的中点， ∴ GF//DC，GF=12DC ．又 ∵ AB//DC，AB=12DC ， ∴GF//AB 且 CF=AB ． ∴ 四边形 ABFG 为平行四边形． ∴BF//AG ．又 ∵AG⊂ 平面 PAD ， BF⊂ 平面 PAD ， ∴BF// 平面 PAD ．解：取 AD 的中点 O ，连接 OP ，由 △PAD 为正三角形， ∴PO⊥AD ．取 BC 的中点 E ，连接 OE ， ∵ 四边形 ABCD 为梯形， ∴OE//AB ． ∴OE⊥AD ． ∴∠POE 为二面角 P−AD−C 的平面角．又二面角 P−AD−C 为直二面角， ∴∠POE=90° ． PO⊥OE ．以 O 为坐标原点， OA ， OE ， OP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：设 AB=2 ，则 P(0，0，3) ， A(1，0，0) ， B(1，2，0) ， C(−1，4，0) ，故 BP→=(−1，−2，3)，AB→=(0，2，0) ， PC→=(−1，4，−3) ．设平面 PAB 的一个法向量为 m→=(x，y，z) ，则 {m→⋅BP⇀=−x−2y+3z=0m→⋅AB⇀=2y=0 则可取 m→=(3，0，1) ．设直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 θ ． ∴ sinθ=|cos<m→，PC→>|=|m→⋅PC→||m→||PC→|=|−3+0−3|21+16+3=1510 ． ∵ θ∈(0，π2] ， ∴ cosθ=1−sin2θ=8510 ．故直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值为 8510 ．

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