题目

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ， AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°． 答案：证明：（1）如图建立空间直角坐标系．设AC∩BD=N，连结NE，则N(22,22,0)，E（0，0，1）∴NE→=(-22,-22,1)又A(2,2,0)，M(22,22,1)∴AM→=(-22,-22,1)∴NE→=AM→，且NE与AM不共线，∴NE∥AM，又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE．（2）设P（t，t，0）0≤t≤2，则PF→=(0≤t≤2-t,0≤t≤2-t,1)，CD→=(0≤t≤2,0,0)又∵PF→与CD→所成的角为60°，∴2-t·22-t2+2-t2·2=12，解之得t=22或t=（舍去），故点P为AC的中点时满足题意．

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