等边三角形的性质知识点题库

如图，已知∠MON=30°，点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …在射线ON上，点B₁ ， B₂ ， B₃ ， …在射线OM上，△A₁B₁A₂ ， △A₂B₂A₃ ， △A₃B₃A₄ ， …均为等边三角形，若OA₁=2，则△A₅B₅A₆的边长为．

等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为．

如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，求PE的长．

问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S₁ ， △BND的面积为S₂ ．

（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S₁•S₂=；
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S₁•S₂的值；
（3）
延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．

（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S₁•S₂的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S₁•S₂的表达式，不必写出解答过程．

如图，已知等边△ABC，AB=6，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DF交BC于点P，作DE⊥BC于点E，则EP的长是．

如图(1)，等边△ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边△EDC，连接AE．

（1） △DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；
（2） 试说明 AE∥BC 的理由；
（3） 如图(2)，将(1)动点 D 运动到边 BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．

如图,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形.求证:AC=BE.

边长为10cm的等边三角形的面积是 .

观察发现：如图（1），⊙O是△ADC的外接圆，点B是边CD上的一点，且△ABC是等边三角形.OD与AB交于点E，以O为圆心、OE为半径的圆交AB于点F，连接CF、OF.

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（1）求∠AOD的度数；
（2）线段AE、CF有何大小关系？证明你的猜想.
拓展应用：如图（2），△HJI是等边三角形，点K是IH延长线上的一点.点O是△JKI的外接圆圆心，OK与JH相交于点E.如果等边三角形△JHI的边长为2，请直接写出JE的最小值和此时∠JEO的度数.

如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是等边三角形， $\text{[math]}$ 三点在同一条直线上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为.

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已知边长为4的等边△ABC ， D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，P为线段DE上一动点，则PF+PC的最小值为（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD ＝AE ，∠DAE ＝100°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数.

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如图，直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一动点（OC＞3），连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交 $\text{[math]}$ 轴于点E.

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（1）证明∠ACB=∠ADB；
（2）若以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时C点的坐标；
（3）随着点C位置的变化， $\text{[math]}$ 的值是否会发生变化?若没有变化，求出这个值；若有变化，说明理由.

如图

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（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：
①旋转角的度数；

②线段OD的长；

③∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．

如图， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ …在射线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ …在射线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ …均为等边三角形，依此类推，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的边长为（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2016 D . 4032

已知等边三角形 $\text{[math]}$ ．如图，

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⑴分别以点A，B为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

⑵作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D；

⑶分别以点A，C为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；

⑷作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E；

⑸直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点O；

⑹连接OA，OB，OC．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，正确的是．

已知， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 延长线上．

（1）如图1，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，若点 $\text{[math]}$ 不是 $\text{[math]}$ 的中点，（1）中的结论还成立吗？若成立给出证明，若不成立，说明理由．

如图，△ABC是等边三角形，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E ， EF∥AB ， AD＝6，则△EFC的周长为．

如图，P是正三角形 $\text{[math]}$ 内的一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转后，得到 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）．

A . 120° B . 135° C . 150° D . 160°

如图，将边长为4的等边 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 平移得到 $\text{[math]}$ ，点M，N分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，点P是线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时， $\text{[math]}$ ．

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