等边三角形的性质知识点

等边三角形的性质
等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

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△ABC为等边三角形，在平面内找一点P，使△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则这样的点P的个数为．

如图，在等边△ABC中，M为BC边上的中点，D是射线AM上的一个动点，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．

（1）填空：若D与M重合时（如图1）∠CBE=度；
（2）如图2，当点D在线段AM上时（点D不与A、M重合），请判断（1）中结论是否成立？并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若AB=6，试求CE的长．

如图，△ABC是边长为8的等边三角形，F是边BC上的动点，且DF⊥AB，EF⊥AC．则四边形ADFE的面积最大值是．

如图：△ABC、△ECD都是等边三角形，且B、C、D在同一直线上．

（1）求证：BE=AD；
（2） △EBC可以看做是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到，请说明得到△EBC的过程．

如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC的直线上运动，以△ABC的高为半径的⊙O分别交线段AB、AC于点E、F，则 $\text{[math]}$ 所对的圆周角的度数（　　）

A . 从0°到30°变化 B . 从30°到60°变化 C . 总等于30° D . 总等于60°

（1）发现
如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE.

填空：

①∠DCE的度数是；

②线段CA、CE、CD之间的数量关系是.
（2）探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE.请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由.
（3）应用
如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6.若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长.

如图1，点M为直线AB上一动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是等边三角形，连接BN

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系 $\text{[math]}$ 不需证明 $\text{[math]}$ ；
（3）如图4，当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ．

如图，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点O是 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

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A . 1 B . 3 C . 2 D . 4

如图，已知A（a ， b），AB⊥y轴于B，且满足 $\text{[math]}$ ，

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（1）求A点坐标；
（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系；
（3）过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG=45°，试探究 $\text{[math]}$ 的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值，如果变化，请说明理由．

（1）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE.

填空：

①∠AEB的度数为；

②线段AD、BE之间的数量关系为 .
（2）拓展研究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝2 $\text{[math]}$ ，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离.

如图，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，边 $\text{[math]}$ 经过坐标原点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像上.若点 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像上，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . -3 B . 3 C . -6 D . 6

如图，已知点A₁、A₂、A₃都在反比例函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象上，点B₁、B₂、B₃都在x轴上，△OA₁B₁ ， △B₁A₂B₂ ， △B₂A₃B₃都是等边三角形，则点B₃的坐标为（）

A . （2 $\text{[math]}$ ，0） B . （3 $\text{[math]}$ ，0） C . （2 $\text{[math]}$ ，0） D . （3 $\text{[math]}$ ，0）

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠AED为度．

对于边长为4的等边三角形ABC ，以点B为坐标原点，底边BC方向所在的直线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标是．

如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为（0，0），（6，0），点D是x轴上的一个动点，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE．

（1）点C的坐标为，△CDE为三角形；
（2）当点D在线段AB上运动时，四边形CDBE的周长是否存在最小值？若存在，求出四边形CDBE的周长最小值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDE是直角三角形时，请直接写出点D的坐标．

如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．

如图

（1）【基础巩固】
如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A＝∠B＝∠EFC，求证：△AFE∼△BCF；
（2）【尝试应用】
如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC＝BC＝4 $\text{[math]}$ ，E，F分别是AC，AB上的一点，∠CFE＝45°，若设AE＝y，BF＝x，求出y与x的函数关系及y的最大值.
（3）【拓展提高】
已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上.如图3，如果AD：BD＝1：2，求CE：CF的值.

如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=度．

已知关于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长

（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．

（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S₁ ，正方形BGFC的面积为S₂ ．
①若S₁=9，S₂=16，求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S₂-S₁=2S．
（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S₁ ，等边三角形CBE的面积为S₂ ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S₂-S₁与S之间的等量关系，并说明理由．

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