线段垂直平分线的判定知识点

定义法判定：
      1.定义:垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
                线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合.
     2.示例:如图，O为线段AB的中点，CD⊥AB，则直线CD为线段AB的垂直平分线.

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如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于 $\text{[math]}$ MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S_△_DAC：S_△_ABC=1：3．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

综合题

（1）【问题发现】如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为；
（2）【拓展探究】
如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
（3）【解决问题】如图（3）在正方形ABCD中，AB=2 ，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，
得到正方形AB＇C＇D＇，请直接写出BD＇平方的值．

等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．两腰高线交于一点 $\text{[math]}$ ，则描述 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系最准确的是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 垂直 D . $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$

已知∠AOB=45°，求作∠AOP=22.5°，作法：

（ 1 ）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点N，M；（2）分别以N，M为圆心，以OM长为半径在角的内部画弧交于点P；（3）作射线OP，则OP为∠AOB的平分线，可得∠AOP=22.5°根据以上作法，某同学有以下3种证明思路：

①可证明△OPN≌△OPM，得∠POA=∠POB，可得；②可证明四边形OMPN为菱形，OP，MN互相垂直平分，得∠POA=∠POB，可得；③可证明△PMN为等边三角形，OP，MN互相垂直平分，从而得∠POA=∠POB，可得．你认为该同学以上3种证明思路中，正确的有（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．

如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，点M在BC上，AB＝BM，CM＝CD，点N为AD的中点，求证：BN⊥CN。

如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为（）

A . 24° B . 31° C . 32° D . 34°

在△ABC中，AB=AC，OB=OC，点A到BC的距离是6，O到BC的距离是4，则AO为（）

A . 2 B . 10 C . 2或10 D . 无法测量

已知线段AB，直线CD⊥AB于O，AO=OB，若点M在直线CD上，则MA=，若NA=NB，则N在上．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC ．

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（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若CD=2，求BC的长．

将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．

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（1）当 $\text{[math]}$ 旋转至如图②位置，点B（E），C,D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是．
（2）当 $\text{[math]}$ 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接BO,AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．

在矩形ABCD中，点P为CD边上一点(DP＜CP)，∠APB＝90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P ， PD′的延长线交边AB于点M ，过点B作BN∥MP交DC于点N ，连接AC ，分别交PM ， PB于点E ， F．现有以下结论：①连接DD′，则AP垂直平分DD′；②四边形PMBN是菱形；③AD²＝DP⋅PC；④若AD＝2DP ，则 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图

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（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：
如图①，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交等边三角形外角平分线 $\text{[math]}$ 所在的直线于点 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系.

小明发现：过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决.请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.
（2）（类比探究）
如图②，当 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上（除 $\text{[math]}$ 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明你的结论.
（3）（拓展应用）
当 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上延长线上，且满足 $\text{[math]}$ （其他条件不变）时，请判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由.

已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．

将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）．如图2，AE与BC交于点M ， AC与EF交于点N ， BC与EF交于点P ．

（1）若△AMC是等腰三角形，则旋转角α的度数为．
（2）在旋转过程中，连接AP ， CE ，求证：AP所在的直线是线段CE的垂直平分线．
（3）在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．

我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形.

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD²+BC²＝AB²+CD²；
（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长.

在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE=CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．

（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证PE=PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB=6时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF．其中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

如图，在 $\text{[math]}$ 中，AD是 $\text{[math]}$ 的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．

（1）由作图可知，直线MN是线段AD的．
（2）求证：四边形AEDF是菱形．

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