全等三角形的应用知识点题库

如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带去（）

A . ① B . ② C . ③ D . ①和②

我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．

（1）特例探索
如图1，当∠ABE=45°，c=2 $\text{[math]}$ 时，a= ，b= 　．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= ，b= ．
（2）归纳证明
请你观察（1）中的计算结果，猜想a² ， b² ， c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
（3）
如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么可行的办法是（　　）

A . 带①③去 B . 带①去 C . 带②去 D . 带③去

下列说法正确的是（　　）

A . 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B . 全等三角形的周长和面积分别相等 C . 全等三角形是指面积相等的两个三角形 D . 所有的等边三角形都是全等三角形

小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（　　）

A . 第1块 B . 第2块 C . 第3块 D . 第4块

如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片即可

以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．

（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；
（2）延长BD交CE于点F，试求∠BFC的度数；
（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．

根据题意解答

（1）如图1，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC于点F，证明：△ADE∽△BFE．
（2）这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”，那普通的3个等角又会怎样呢？
变式一如图2，已知等边三角形ABC，点D、E分别为BC，AC上的点，∠ADE=60°．
①图中有相似三角形吗？请说明理由．
②如图3，若将∠ADE在△ABC的内部（∠ADE两边不与BC重合），绕点D逆时针旋转一定的角度，还有相似三角形吗？
（3）变式二如图4，隐藏变式1图形中的线段AE，在得到的新图形中．
①如果∠B=∠C=∠ADE=50°，图中有相似三角形吗？请说明理由．
②如图5，若∠B=∠C=∠ADE=∠a，∠a为任意角，还有相似三角形吗？
（4）交式三已知，相邻两条平形直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则cosa的值是（直接写出结果）．

已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．

（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的对角线长为4，求两个正方形重叠部分的面积为．

如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．

（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，P是BC上一点，E是AB上一点，PD平分∠APC，PE⊥PD，连接DE交AP于F，在以下判断中，不正确的是（）

A . 当P为BC中点，△APD是等边三角形 B . 当△ADE∽△BPE时，P为BC中点 C . 当AE=2BE时，AP⊥DE D . 当△APD是等边三角形时，BE+CD=DE

将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动 $\text{[math]}$ 秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）求点B的坐标，并用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t=1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，矩形对角线AC，BO交于M，取OM中点G，BM中点H，求证：当t=1时四边形DGPH是平行四边形．

如图1，边长为2的正方形ABCD中，点P在AB边上（不与点A、B重合），点Q在BC边上（不与点B、C重合）

第一次操作：将线段PQ绕点Q顺时针旋转，当点P落在正方形上时，记为点M；

第二次操作：将线段QM绕点M顺时针旋转，当点Q落在正方形上时，记为点N；

依次操作下去…

（1）如图2，经过两次操作后得到△PQD、△PQD的形状是，求此时线段PQ的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形PQMN．
①请直接判断四边形PQMN的形状，直接写出此时此刻AP与BQ的数量关系；
②以①中的结论为前提，直接写出四边形PQMN的面积的取值范围．

用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其全等的依据是（）

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A . SAS B . ASA C . AAS D . SSS

如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，则这个人运动到点M所用时间是

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如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=。

如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是．

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一次演习中，红军与蓝军在河边激战，蓝军在河北岸Ｑ处，如图，因不知河宽，红军很难瞄准蓝军，聪明的红军指挥官站在南岸Ｏ处调整好自己的帽子，使视线恰好擦过帽舌边沿看到蓝军兵营Ｑ处，然后后退到B点，这时他的视点恰好能落在O处，于是他下令测量他脚站的B处与O点之间的距离，并下令按这个距离炮轰蓝军兵营，红军能命中吗？说明理由．

在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏．游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形．已知乙同学说出的前两个条件是“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”．现仅存下列三个条件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．为了甲同学画出形状和大小都确定的 $\text{[math]}$ ，乙同学可以选择的条件有：．（填写序号，写出所有正确答案）

如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．

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